COURBURE DES SECTIOSS PRINCIPALES

Écrivons la condition de parallélisme des deux vecteurs e'., et.r' sous la forme

ej = tJL..r'

a étant un facteur constant. Pour déterminer ce facteur, multiplions chaque membre par \.v' nous aurons

et en vertu de l'équation (II)

Ainsi tout déplacement sur une section principale est caractérisé par la relation

e,/= x' ou de^ = dx. (VI)

23. — Directions principales. — Nous allons montrer qu'en chaque point d'une surface il existe deux sections correspondant aux maximum et minimum des rayons de courbure. Les tangentes aux sections principales déterminent ce que l'on appelle les directions principales au point considéré ; tandis que les rayons de courbure correspondants portent le nom de rayons de courbure principaux.

Déterminons d'abord les directions principales.

L'équation (VI) peut être mise sous la forme

^e., j de, - I / d.r , ôj: , \

Un + -- di>^= — du + — di>),

du of^ 0 \ ou op /

En multipliant chaque terme par t— on obtient

\ou

tde.,\ àx^ , [ àe., 1 dx^ , i fVdxl ô.r~l . rOjrldxT , \

ô:;| ô;:!''" +L s; I D^ J*=- ; llô7,| s;r'+ LdtIâïï 1''")

ou

Ddn -h DV/^ = - {Edu + Vdç) . (VIF)

On aurait de la même manière, en efTectuant l'opération

DW« + DVp=- [Yclu + Gd^]. (VII")

En éliminant p entre ces deux équations, on a (FD" — GD') dv^ + (ED" — GD) dudi> + (ED' — FD) diâ=o. (VIII)

Cette équation étant du second degré en -j- il existe donc, en

général, deux directions principales en un point donné d'une surface. Il n'y a d'exception qu'en certains points isolés, appelés ombilics, pour lesquels tous les coefficients de cette équation sont nuls^ c'est-à-dire pour lesquels on a

Pour ces points, généralement en nombre limité, les directions principales sont indéterminées.