COURBURE DES SECTIONS PRINCIPALES

On peut écrire

I ô.r de,. \ - / I d.r <)e, \ ,

0 0// 0« / \ p oc Oc /

d'où il résulte que les deux vecteurs représentés dans ces parenthèses sont parallèles. On a donc

t/ I d.r ôe, \ / I d.r dev \ ~j \^ p ô« ô« / \ p Oc Oc / J

ou, en effectuant l'opération indiquée,

tOr O.r T i ^ f 0.r Oe^ ~| f ôe, ôx "1 I i .F Oe, ôe, "1 ô^ ô^ J p"' "^ (L ô^ ôc J~'~L ô^ ôc J j 7 "^ Lô7/ Te J — °'

, , . , . , I r 0 j: ÔT "1 , , ,

Enmultipliantchaque termepar n= I — — j on a 1 équation

cherchée „ I (F Ojt de, "1 r Oe„ Oa^n^i F ôe, Oe^T ,„>

Désignons par pj et p^ les deux rayons de courbure principaux, et par s^ et s^ les arcs des sections principales. L'équation (VI)

se décompose alors dans les deux suivantes

Oe, I 0.r Oe, i ^x ,,.,

ô^ ~ p, Os, ÔS2 ~ P2 0^-2 *

Retranchons ces deux équations membre à membre, après les

Ox I ^x avoir multipliées respectivement par — et — , il vient alors

4JOn I Uo.

[Oe, I ô.r I r Oe, 1 d.r 1 / i ' \ F ^^ 1 ^-^ ~|

Os, I Os^ J L ^s, I 0.S, J \ p2 pi / L ô«, I Os, J

D'après une condition exprimée plus haut (n" 18) le premier Fehr. Géométrie infin . 4

5o DE LA COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UAE SURFACE

membre doit être nul; on a donc, en tout point qui n'est pas un ombilic,

Ldx I O.r I s; I .X J= "' (''"'

ce qui signifie que les deux directions principales sont perpendiculaires entre elles.

§ 3. — Formule d'Euler.

aS. — Exprimons maintenant la courbure d'une section normale quelconque au moyen des rayons de courbure principaux Pi et Ps-

On a (n° 22, II) en désignant pars l'arc d'une section normale

[dx de^ I ds ds J

Introduisons les arcs s^ et s.^ des sections principales, nous aurons

[/ ^x ds^ dx ds^ \ / de., ds^ de., ds., \ j

\ ds^ ds ds^ ds J \ ds^ ds ds^ ds / J

En effectuant les calculs et en réduisant ('), on obtient

p L ds^ I ds^ J \ ds J L ds, I ds, J \ ds J

ou

I I / ds^ \ - I / ds.,

a Pj \ ds / p., \ ds

Appelons cp l'angle formé par s et s^ c'est-à-dire posons

ds. ds^

-~ = cos (5 ~ =sinc5.

ds ' ds '

(') Le coefBcient du terme en — L — 2 est nul en vertu des relations (XI) et

ds ds