XII

FORMULE D'EULER 5i

L'expression de la courbure prend alors la (orme — = — cos" 'Zi -\ sin" 'j,

connue sous le nom de formule iVEuler.

On parvient encore à cette formule en suivant une autre voie. Prenons comme point de départ l'expression (I) (n° 20) ; pour la courbure d'une section normale elle devient

p ds'

Si, dans les valeurs (n° 18, III)

on introduit les expressions

de.

I ÔA" Oe, I dx

p, ôSj ' ôs^ 0, Oir,

on trouve

D=iE

L'expression de la courbure devient

I E / du \ - G / di> V

ds / 0.. \ ds

et, puisqu'on a (n" i4),

du . , . dtf

coB.=v/E ^., sin'. = v^G j^.

on obtiendra finalement

— = — cos''j+ — sin C3.

On déduit de cette formule que les rayons de courbure p et p' de deux sections normales rectangulaires satisfont à la relation

-\- — ==const.,

ce qui revient à dire que la somme des courbures de deux sections normales rectangulaires est constante en un point.

Remarque. — Quant h la discussion des résultats obtenus dans ce chapitre , on la trouve dans tous les traités consacrés à l'Analyse et à ses applications géométriques. La méthode vectorielle n'y apporte guère de modification.