CHAPITRE IV
26. — Définitions. — Dans ce chapitre nous appliquerons la méthode de Grassmann à l'étude de la courbure d'une surface en un point donné.
La notion de courbure d'une surface peut être envisagée à différents points de vue. Nous l'examinerons d'abord sous les deux formes généralement employées, à savoir : 1° la courbure totale ; 2° la courbure moyenne. Nous consacrerons ensuite un paragraphe h la notion importante de courbure moyenne quadratique, d'après Casorati.
Nous avons vu, d'après la formule d'Euler, qu'en un point d'une surface la courbure d'une section normale s'exprime à l'aide des rayons de courbure principaux p, et p^. Suivant la définition que Ton adopte pour la courbure d'une surface on se trouve conduit à telle ou telle fonction de p, et p,.
On appelle courbure totale en un point d'une surface la quantité
c — JL
tandis que la courbure moyenne d'une surface en un point est définie par l'expression
L'équation aux rayons de courbure principaux (n** 24» ^) fournit immédiatement les valeurs
^ l ou d(^ J ^.
ni ^ '
I \X ().r Oe,, T r Oe,, d.z- |)
La courbure moyenne quadratique est caractérisée par l'expression
§ 1. — Courbure totale.
27. — La notion de courbure totale est due a Gauss. Elle doit être envisagée comme une généralisation de la définition de la courbure des lignes planes.
Si, dans le plan d'une courbe plane, on considère un cercle de rayon i, et si, parle centre de ce cercle, on mène des parallèles aux normales à la courbe, l'angle de deux normales sera mesuré par l'arc de cercle limité par les rayons qui leur sont respectivement parallèles ; on entendra par courbure de la courbe en un point donné, la quantité C définie par
C = lim -" ,
Sq étant l'arc de cercle correspondant à l'arc infiniment petit s pris sur la courbe.
Considérons maintenant sur une surface une étendue a limitée par une courbe fermée et comprenant le point donné M. Si par le centre d'une sphère de rayon i on mène des parallèles aux normales de la surface le long de ce contour, on déterminera sur la sphère une courbe également fermée et limitant une aire o-^. Nous appellerons courbure totale de la surface au point M la quantité C^ définie par
Q = lim -».
Nous allons montrer que cette limite est précisément égale au produit des courbures principales.
En effet soit dH le rectangle élémentaire MMjM'M^ dont les côtés MMj = (i, ,r et MM.,= «fj.x sont dirigés suivant les directions principales en M. On a pour cet élément superficiel
r^S = u/j .ra, .r I ou rfX =1 -— — las.ds.^. '- • ' - L os Oi-, J
