COURBURE TOTALE
Si l'on désigne par di la valeur de l'aire <5?S, on aura [Introduction, V)
n étant défini par
If O.f Or "1
A l'élément superficiel <^S correspond sur la sphère de rayon i, un rectangle élémentaire dli^ déterminé par les rayons menés parallèlement aux normales e., en M M, M' M, et représenté par l'expression
Mais, puisque les arcs sont comptés suivant les directions principales, on a (n° 24, XI),
de.,
Pi
Or 0.v/
de., Os,
On en déduit
et, si l'on désigne par f/o-^la valeur de Taire ^Sg, on obtiendra ^^0= rr- \^n^ds,ds,.
D'où il résulte, en adoptant pour la courbure totale la définition donnée par Gauss,
28. — Déterminons maintenant l'expression de la courbure totale en fonction de x et de ses dérivées,
étant l'équation de la surface.
Nous appliquerons encore la définition de Gauss, mais nous laisserons de côté la considération particulière des directions principales.
Soit donc
l'élément superficiel en un point M de la surface. Si l'on représente par e^ le vecteur normal unité en M, on aura, au point correspondant sur la sphère de rayon i, l'élément superficiel
r ôe^ àe., 1 L 0^ ù7 J'
La valeur d<7 de ^élément dli a pour expression
d<j=:^Vn- dudv.
Pour obtenir la valeur diy^ de l'élément d'L^ nous appliquerons le second procédé indiqué dans V Introduction (n° V) et d'après lequel il suffit de multiplier le bivecteur considéré par le vecteur normal unité. On a donc
r De, ôe, 1
e., — -^ Idudç.
La courbure totale est donc représentée par le rapport
de, de,
., dcTf, I '' du dif
et, si l'on remplace le premier vecteur par sa valeur
on aura
P L du di^ J
n~ Nous retrouvons ainsi l'expression (n" 26, I) que nous avons
