Hs.-i r

des formes

^i = hi e, + iii,,o e, + p,- 3 63 («■ = 1 , 2 , 3)

en posant

Ci = Ym ^1 H- Tt,2 «2 + 7.3 e^ (i = 1 , 2 , 3) , les quantités y^ ,. étant définies par les égalités

Tî,,- = «iM I^M + a,-,2 |3r,2 + a/,3 !^r,3 •

Mais on peut écrire

ti.=[[ai\K\,

INTRODUCTION de sorte que le théorème de la multiplication devient

>JM[«.lMl"«alM

Appliqué au ])roduit intérieur de deux bivecteurs ce théorème conduit à la formule

[a^n.^\hj>^] =

On y parvient sans peine si l'on envisage le produit intérieur de deux bivecteurs comme étant le produit extérieur du premier bivecteur par le vecteur index du second et si l'on applique le théorème de la multiplication au produit

VII. Relations avec les coordonnées cartésiennes. — Considérons un point fixe O et trois vecteurs-unité e^^ e^, Cj, non dans un môme plan. Pour tout point M de l'espace on a

Les nombres x\, x.^, x^, correspondent aux coordonnées cartésiennes du point M,

Nous supposons dans ce qui suit que le trivecteur e^, Cj, e, est trirectangulaire, c'est-à-dire que, outre les relations

ej= i,

on a encore

Si pour un second point M' on donne

M' = O + .r/e, -\- x,'e, + x^'e^, la distance MM' sera déterminée par l'expression modMM' =mod (M — M')

Fehr. Géométrie infin.

l8 INTRODUCTION

Considérons les deux vecteurs

a ^^zz a^e^-\- a^e^-\-a^e^, et a' ^=^n^ e^-\- a^e^-\- a^e.^

La formule

^ ' L mod« mod a' J

devient

cos(aa')- «,< + «.< + «.<

\/a\ + u\ + al s/a[' + a',' + a'^

La condition de perpendicularité [«|«'] = o prend la forme connue

a^a^ -\- n^aj -\- a^a^ ^= o.

Quant à la condition de parallélisme [aa'] = o des deux vecteurs a et a' , elle devient

En elFectuant les calculs et en groupant convenablement les termes on obtient

+ («3«/ — «,0 [e^ej = o, d'où l'on déduit

^ =^ i:^ == fi «'1 "" «'2 ~" «'3 '

Déterminons maintenant l'équation du plan passant par un point donné M' et perpendiculaire à un vecteur donné a. Pour tout point M de ce plan on devra avoir

ce qui donne l'équation

(x,— xl) a, H- (^2— O rt, + (a-3— x^) «3 = 0.

Vlll. Représentation d'une courbe. — Supposons que dans l'expression

INTRODUCTION ig

les quantités x^, .r^, x^^ soient des fonctions d'une même variable indépendante réelle t. Lorsqu'on fera varier t d'une manière continue entre certaines limites, le point M décrira une courbe. Posons pour abréger

f\t) = x^ (t) e, + .r, (/) e, -\- x, (j) e„ d'où il résulte

et désignons par x = OM le segment partant du point fixe O, on aura, pour l'équation d'une courbe gauche quelconque

C'est à l'aide de cette forme que nous examinerons les propriétés les plus importantes des courbes.

Pour une courbe plane, la fonction vectorielle f (f) se réduit à

x=x^{t)e^-\-x.^{t)e^, ou, si l'on introduit les coordonnées polaires

Voici, à titre d'exemple :

1° l'équation de l'ellipse

X = a cost. e^-\-b sxnt. e.y, ou

2° celle de la spirale d'Arcliimède

x = «/e''Ej.

Si dans l'équation générale d'une courbe gauche

on introduit les coordonnées polaires du plan e^ e.^, on obtient

•iO INTRODICTIUS

Ainsi, on a, pour l'équation de l'hélice

X =Ae''E,+///E3.

IX. Représentation d'une surface. — Si le vecteur x est donné en fonction de deux variables réelles indépendantes u et (', le lieu du point

sera généralement une surface ; on peut concevoir cette surface comme engendrée, soit par les courbes n obtenues en donnant à la variable s> une série de valeurs quelconques, soit par les courbes ^' correspondant à une série de valeurs de //.

Ainsi, on peut, en général, représenter une surface par une équation de la forme

On aurait, par exemple, pour les surfaces de révolution X ^^ u cosc-gj -f- u sxiiv.e^ -\- cp [ii) e^,

ou

x= ué'E^ + ^{u)E^.

Dans notre étude sur les surfaces nous envisagerons toujours l'équation sous sa forme générale

X=f{ll,ç>).