DD" — D
Cette expression peut, comme on sait, être exprimée uniquement en fonction de E, F, G et de leurs dérivées.
3o. — Appliquons ce qui précède à la détermination de la courbure totale d'une surface réglée.
Une pareille surface peut être représentée par l'équation
jc = y{u)-^v.e^{u), (VI)
dans laquelle ?/ (a) détermine la directrice (G), et e„ [u) le vecteurunité qui fixe la direction de la génératrice [g] passant par un point P pris sur (c).
Ainsi les deux systèmes de courbes coordonnées sont, pour //= const., les génératrices reclilignes, pour f'=const., des
Fig. 6.
courbes telles que chacun de leurs points soit distant du point correspondant pris sur la directrice d'une longueur constante v.
Nous déterminerons C^ au moyen de la formule (V).
L'équation de la surface donne
^x dy
ô« du
d'où
de^ du
= erlu),
On remarque immédiatement que
Il suffit donc de calculer l'expression
Or on a d'une part, pour le vecteur normal
de
lfmH[(:^+"è)-H)] '■=1 [ 3! '••';'"] +''|[è^-"')]' <™>
COURBURE MOYENNE Sg
et d'autre part
ô-.r de„
5« ôp du
L'expression D' devient
^- v/;?J Â7 AT"-'")]'
et l'on aura pour la courbure totale d'une surface réglée
r , de^ dxj 'V ^a(" T- -T- Q = l ^^;, ^^^ J . (VIII)
Une surface réglée est dite dèveloppahle si en chacun de ses points la courbure totale est nulle, c'est-à-dire si son équation satisfait à la condition
L'interprétation géométrique de cette relation est immédiate. Ecrite sous la forme
[e,.{e^-\-de,,)dy] = o,
elle montre que les génératrices menées en deux points infiniment voisins y et y -\-dy sont dans un même plan.
Il est aisé de reconnaître ('), en discutant par exemple l'équation (VII), que, dans le cas particulier où la courbure totale est nulle, la direction e„ des génératrices reste tangente à une courbe tracée sur la surface et appelée arête de rebroussemenl de la surface développable.
§ 2. — Courbure moyenne.
31. — La courbure d'une surface peut encore être envisagée à un autre point de vue. La somme des courbures de deux
(' Voir Grassmann fils, Programme, i893, p. 80.
sections normales rectangulaires étant constante en un même point, on peut prendre cette constante comme mesure de la courbure de la surface.
Si l'on représente la courbure moyenne par C^, on a par définition
Nous avons donné plus haut (n° 26, II), l'expression de la courbure moyenne en la tirant de l'équation aux rayons de courbure principaux.
Nous allons montrer comment cette expression peut être ramenée à la forme ordinaire contenant les quantités fondamentales E, F, G et D, D', D".
Soit donc
2 ( L ô?i dç J L ô" ô^ J
l'expression à transformer.
Considérons d'abord le premier terme du numérateur. On a,
en remplaçant n par ■-— --— ,
dx de,, 1 r dx du di> ] L au
dx de, du ôi'
en appliquant une propriété des déterminants déjà employée plus haut, le second membre peut être mis sous la forme
àx I dx
[dx I or 1 r dx dx ~l
du I du J I dç I du J
[dx I de., T r ôr I ôe, "1
du \ d{> } I ^^ ^^ J
ou, en tenant compte des relations fondamentales,
COURBURE MOYENNE 6i
OU enfin,
r„ ^ ?!:' 1 -= — (ED" — FD').
L on Oi^ J
On aurait de même pour le second terme
L'expression (*)de la courbure moyenne devient alors
ç l (GD — 2 FD^ + ED^O 2 n-
Cas particulier. — La courbure moyenne est nulle lorsque les deux courbures principales sont égales et opposées. Les surfaces dont la courbure moyenne est nulle en chaque point portent le nom de surfaces minima. Sur une pareille surface l'étendue limitée par un contour fermé donné est un minimum par rapport aux surfaces infiniment voisines passant par ce contour.
On voit donc que si x^f {ii, ^>) représente une surface minima, la fonction x devra annuler le numérateur de l'expression obtenue pour la courbure moyenne, c'est-à-dire vérifier l'équation différentielle
Réciproquement il est aisé de montrer que toute surface d'étendue minimum et limitée par un contour donné possède la propriété qu'en chacun de ses points la courbure moyenne est nulle.
En effet, considérons une portion de surface («r) limitée par un contour fermé (C). La surface étant donnée par l'équation X z:=f(ji^ (^), on aura, pour un élément superficiel pris sur (a),
^ZS = I c— ^1 duch.
[Ox Ox I du d^ \
(') Cette expression peut d'ailleurs être déduite directement de l'équation IX, n" 24.
6a DE LA COURBURE DES SURFACES
Pour obtenir la valeur de l'aire, il suffit de joindre aux vecteurs - — -^ , le vecteur normal unité e., ilntrod. n° V.) ; on a ou Oi> ^
donc
</ a- = I (?„ -^ -1-1 du dv
[0.r dx \
L'aire o- sera donnée par l'intégrale double
Oj:' èx
-nbt.tV'''^^
étendue à toutes les valeurs de u, v, correspondant aux points de (a) .
Pour que la portion d'aire limitée par la courbe (C) soit un minimum, il faut que la variation première ot soit nulle.
En appliquant les principes du calcul des variations, l'expression
ÛT =^ 0
conduit à la condition (*)
tdx de,, "1 r de,, dx 1 du di^ \ L " du di> J
On retrouve donc la relation qui exprime que la courbure moyenne est nulle en chaque point de la surface.
§ 3. — Courbure moyenne quadratique.
Sa. — Dans le cas où l'une des courbures (C, ou C,„) est nulle, il y a une sorte de contradiction entre l'idée commune que l'on se fait de la courbure d'une surface et la définition mathématique adoptée.
On a donc été conduit à introduire pour la courbure d'autres fonctions des rayons de courbure principaux qui ne s'annulent que pour le cas du plan.
(') Pour le détail de la transformation, nous renvoyons au Programme (i8y3) de M. Grassmann fils, et à la Note publiée à ce sujet par M. Carvallo dans le Bulletin des sciences mathématiques (1894J.
COURBini-: MOyEi\NE QUADRATIQrE
Nous examinerons ici lu fonction remarquable étudiée par M. Casorati (') et qui porte le nom de courbure moyenne quadratique, selon la dénomination proposée par^I. d'Ocagne (^).
M. Casorati adopte encore comme mesure de la courbure en un point M, la limite du rapport
aire de Timage , . t
-; j — ^ ou bien — •
aire de la calotte t
L'aire <t de la calotte est celle d'un cercle de rayon infiniment petit £ tracé autour du point M de la surface. Ici l'image n'est plus l'image sphérique d'après Gauss. Elle s'obtient de la manière suivante : sur chaque rayon du cercle e, on porte la longueur de l'arc du cercle de rayon i mesurant l'angle que la normale à la surface menée à l'extrémité de ce rayon fait avec la normale en M. Soit t^ l'aire comprise dans le contour infiniment petit ainsi obtenu.
Soit P un point quelconque du cercle de rayon s. Désignons par e., et e., -\- de., les vecteurs normaux à la surface en M et en P. Leur angle, compté sur un cercle de rayon i, aura pour mesure mod de.,.
On porte donc à partir de M, sur le rayon MP, une longueur
Mais on a
MQ^v'.T^J.
de., = -r^ dn-\- ■ — • d>>.
ou UP"
(') Acia mathematicu. t. XIV.
(*) Voir son Cours de Géométrie (lescri/jHi^e et de Géométrie infinitésimale, p. J'J8, Paris 1896.
6i DE LA COURBURE DES SURFACES
Nous supposerons pour simplifier que clans l'équation de la surface x=f(yU, v) les variables indépendantes ii et v soient telles que les accroissements du et d{> soient pris suivant les directions principales en M ; autrement dit, nous admettrons que u et v correspondent aux lignes de courbure.
On aura donc (n° 24, XI [)
ôe.
de., I dx
du
et l'expression (I) devient
, I ÔjT , I ô^ , de., = — — -- du — - dv.
pi 0" p, ov
On en déduit, en tenant compte de l'orthogonalité des courbes
[u] et [v),
Posons
v[Ëp^" = '"°'^' \/[^]'^^^=^^i"^'
a désignant l'angle que forme le rayon t avec {11). Il s'ensuit que
\ PÎ Pl /
Evaluons maintenant les aires a- et (Tq. Nous aurons, en employant les coordonnées polaires,
cr = i- r MP" da. = i Z'" £^ d^ = 7T£^
I r^" TTTT» 7 I 0 T"" / cos^ a , sin^ a \ . <T, = - / MQ- da= - sM , ! j- da.
y- Jo 2 Jo \ p;- ps /
ou . cr„= £2 |
COURBURE MOYENNE QUADRATIQUE 65
D'où il résulte pour le rapport cherché la valeur remarquable
2 \ pr pi
On se trouve donc bien en présence d'une fonction qui ne s'annule que si les rayons p, et p^ sont tous deux infinis, c'està-dire seulement pour le cas où la surface considérée est un plan.
La courbure moyenne quadratique est liée à la courbure totale et à la courbure moyenne par la relation simple.
Ci ^7 ~^ ^'
Fehr. Géométrie infin
