SYSTÈMES CONJUGUÉS
si l'on remplace ^ par sa valeur, on obtient, après une rétluc- * o/< *
tion très simple
ou, en vertu de la notation adoptée (v. n'' 18)
C'est r équation caractéristique d'un réseau conjugué. Ecrite à l'aide du vecteur normal unité, elle prend la forme
\e, 1^1=0. ;ii;
Si l'on rapproche cette équation des conditions de perpendicularité
tl ô^ 1 r I ô^ "1
on voit que les vecteurs
iSx
et
sont coplanaires. On peut donc écrire
-— - ^A{u,^) — -i-B{u,i') — . (III
Ainsi, les courbes coordonnées [u) et ((') forment sur la surface x = f[u, ^) un système conjugué, si la fonction x satisfait à cette équation aux dérivées partielles du second ordre.
34- — Les courbes conjuguées jouissent de la propriété suivante :
Les génératrices de la déçeloppable engendrée par les plans tangents menés le long de Vune des courbes sont tangentes aux courbes conjuguées.
En effet, nous savons (n° 3o) que pour qu'une droite, dirigée suivant le vecteur e„ ((') ets'appuyant sur une courbe y {y), engen-
cire une développable, il faut que le second membre de l'équation de la surface
vérifie la condition (n" 3o, IX)
de^r dy
t de^r dy-\
Ici la fonction ij [y] correspond à x=f{H, p), a étant supposé constant; tandis que e. (f) est la tangente à la courbe x z= f[n,s>) pour f' const. On a donc, d'une part
et, d'autre part
dy
dv
Or
A'iï
et l'équation de condition devient, après réduction,
[dx ov O^x n ô// ôp Ô«Ô(^ J
équation qui caractérise les systèmes conjugués. 35. — Reprenons l'équation (II)
En dérivant les équations
respectivement par rapport à v et à ?<, on obtient
r ôe J ô.r n [ 1 ô^x 1 f ?£:' I ?f "I i- T I ^^ 1 —
SYSTEMES CONJUGUES
OU, simplement
Si l'on adopte pour les différentielles suivant les deux directions conjuguées les lettres d et 5, on pourra écrire l'équation
unique
[de.,\ox]=o (V)
dont l'interprétation géométrique est immédiate. En effet, on sait qu'à l'élément linéaire dx correspond dans la représentation sphérique l'élément de' ; on peut donc énoncer la proposition suivante :
La représentation sphérique de l'élément linéaire dx est perpendiculaire à Vêlement conjugué ox.
En outre, la condition de perpendicularité
[<?,,j ùx^ = o
jointe à l'équation (11), donne
[((?,H-^eO|o.r]:=o,
relation qui signifie que 0 x est aussi perpendiculaire h la normale e., -\- de., élevée au point x -\- dx.
5? i.r*djc
Fig. 8.
On reconnaît donc que la perpendiculaire commune aux normales e., et e., -\- de.,, menées aux extrémités d'un élément dx^ est parallèle à l'élément conjugué Zx.
Cette propriété peut être écrite sous la forme
0^ = ), I [(?,^ [e., -\- de.) \ ou o.r = A | [ e,//c', ] ,
A étant un l'acteur numérique ; et, si l'on suppose que les variables u^ V correspondent aux courbes conjuguées, on aura les deux équations
ôïï""^Hl ' ^ J
(VI
dans lesquelles )., et À^ sont des fonctions de a et de v.
36. — Considérons maintenant un système quelconque de courbes coordonnées («) et [9). L'équation
[de,,\ ox] =0,
qui exprime la condition pour que les deux directions dx et ox soient conjuguées, devient
[(|- ''"-I- r^ '^'Wû "'+ % 5")]=''-
ou, en introduisant la notation de Gauss,
\}diiou-\-ld' {daov + dvou)-^-\y"d9w=o. (VU)
Cette relation joue, par rapport à la forme fondamentale du second ordre
Tidu- 4- ■2T>'duds> + T>'Uh-,
le même rôle que la condition d'orthogonalité
Ednou -\- F [dnoç> -\- dvou) -\- Gd^>ov = o
par rapport à la forme fondamentale du premier ordre
Vudu' + 'iVdudv + Gdv^.
§ 3. — Lignes de courbure.
37. — Examinons le cas particulier où le système conjugué est
orthogonal. Les deux familles de courbes portent alors le nom de lignes de courbure.
Ce sont par conséquent des courbes telles que les quadrilatères infiniment petits limités par les courbes du système sont des rectangles plans.
Pour obtenir l'équation différentielle d'un pareil système il suffit de joindre à l'équation
[de^\ oj;] = o
la condition d'orthogonalité
[da:\ox]:=o.
Or les vecteurs dx, ox^ de., étant perpendiculaires au vecteur normal e., en vertu des équations
[e,, I d.x] := o , [e,, | ox] = 0, [e.,\de.,]^=o ,
on en déduit immédiatement
[de.,d^]^^=o, (I)
relation qui exprime que l'élément linéaire dx est parallèle à sa représentation spJiérique de.,.
D'autre part, en multipliant par e., on a
[e.,de.,dx^\ = 0 ou [e., [e., + de.) dx] = o.
Cette dernière équation met en évidence la propriété fondamentale des lignes de courbure. Elle montre que les deux normales infiniment voisines e et e., -\- de sont dans un même plan avec l'élément dx. Ainsi que nous l'avons montré (n" 22), cette propriété appartient aux directions principales. On est donc conduit à la proposition suivante dont on se sert souvent pour définir les lignes de courbure, à savoir :
Les normales à la surface le long d'une ligne de courbure forment une surface déçeloppable.
38. — Les deux vecteurs d.c et de., étant parallèles, on peut écrire
de., = "jdx.
7a DES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE
OU encore (voir n" 22)
de^= — — dx. (II)
Cette relation correspond aux formules généralement connues sous le nom de formules d'Olinde Rodrigues.
Si l'on désigne par p, et p^ les rayons de courbure principaux et si l'on adopte pour courbes coordonnées les lignes de courbure, on aura
ôe, I ^x de, i ô.r ,-,^, — - = - et — = . III
ou Pj ou w P2 ov
En déterminant les directions principales en un point donné (Voir n" aS) nous avons montré, comment de l'équation (II) on pouvait déduire la relation
(DF — D'R) du:" + (DG — D"E) dud^^ + (D'G — D"F) d^>^ = o.
Lorsqu'on y considère u etç comme variables, cette expression représente l'équation différentielle des lignes de courbure.
39. — Les formules de la théorie des surfaces prennent une forme très simple si l'on choisit pour courbes coordonnées les lignes de courbure. En effet, un pareil système étant à la fois orthogonal et conjugué, on a
[àx I 5.r ~1 ,
ou I oç» J '
et
e., — — - ^ ^ o ou D' = o.
I I onoi> J
L'expression du rayon de courbure d'une section normale devient
i Ddu' + U'di'^ p ~ Edu- H- Gdç^ '
d'où l'on déduit, pour les rayons de courbure principaux.
On en tire, pour chacune des courbures étudiées dans le Chapitre IV :
C( = -5777- (courbure totale),
