I / D D" \ DG + D"E

C,„ = — (^-^ + -^ j ou — jT^^ (courbure moyenne),

C„ = - -m + -7^ ou

(courbure moyenne quadratique).

Enfin la condition d'orthogonalité de deux éléments dx et ùx prend la forme

E du ou -\- G d{> oi^ := o,

tandis que les directions dx et ox sont conjuguées si l'on a D du ùu + D' dv oi> = o.

4o. — Déterminons maintenant la condition à laquelle doit satisfaire la fonction x=f[îi,v) pour que les paramètres u, v correspondent aux lignes de courbure.

Le système [u) [ç) étant conjugué, la fonction x doit vérifier l'équation linéaire (n** 33) :

^u ^v du di^

Il s'agit de déterminer les coefficients A et B. A cet effet, mul-

tiplions les deux membres par U-^, on aura

\du

[de., I d'x T A r '^^'^ I ^"^ ~l i R r du du di> J | du \ du. \ L

de., [ dx du dif

Mais, en vertu de la relation

de., I dx

du p, du

et en tenant compte de la condition d'orthogonalité, on aura

I r dx I d^x I . I r do: I ôj; 1

p, L ^" I dudv J Pj L du I du A

Posons

et dérivons par rapport à ^>, d'où

Le coefficient A prend donc la valeur

I ôE

Un calcul analogue donne

I ôG 2G ^u

La condition cherchée prend donc la forme (')

I OE èx 2E 0^ ô«

I ôG ô.r 2G ()?< (V