IV
4i. — A la propriété fondamentale des lignes de courbure d'être le seul système conjugué orthogonal qui existe sur une surface, nous rattacherons le théorème de Dupin relatif au système triple orthogonal. Trois familles de surfaces forment un système triple orthogonal si deux quelconques d'entre elles, prises dans des familles différentes, se coupent à angle droit. Cela revient à dire que les tangentes aux intersections mutuelles des trois surfaces forment un trièdre trirectanglc.
Théorème de Dupin. — Les surfaces d'un système triple orthogonal se coupent suivant leurs lignes de courbure.
Un système triple de surfaces peut être représenté par l'équation unique.
(') Dans la méthode ordinaire celte condition est exprimée par trois équations de la même l'orme auxquelles doivent satisfaire les coordonnées x, y, z.
dans laquelle on envisage successivemant chacun des trois paramètres comme constant.
Considérons le système lormé par les trois surfaces u = w„,
L'intersection de deux de ces surfaces, par exemple de u = u^^ et de (^ = t^y, donne une courbe le long de laquelle w varie seul. Le vecteur tangentiel à cette courbe est donc
De la même manière les tangentes aux courbes u et v sont
déterminées par les vecteurs
et
Ces vecteurs étant perpendiculaires deux à deux, on a les trois conditions d'orthogonalité :
relations qui doivent avoir lieu quelles que soient les valeurs ?/„, (^y, w'„ attribuées aux paramètres u, v, w. Considérons par exemple la première ; elle doit rester satisfaite si l'on passe de la surface (p, w) à la surface infiniment voisine. On a donc, en dérivant cette relation par rapport à //,
dudi> Ow J I. iV [ ù//On' J D une manière analogue les deux autres relations donnent
dut)w
dx du
dx Ô7
dx I d'x
dx du
ôç'Ow J
On en déduit
r d-x I àx i r d'x I 0£ 1 r o-.t- dx t
L dwdf' dw J ' LOf^Dw 0// J ' L d^ydu dç J
Mais, par hypothèse les vecteurs tanffentiels — , — ^ , — , sont respectivement perpendiculaires aux bivecteurs
tô.r ().r 1 r d.r ^x "1 T ôx ôx T
ô^ ôïï J' L ôi^ ô^ J' I ô^ Ô^ J'
d'où il résulte que l'on doit avoir
[^-x ôx ô.r ~| r ^^x ô^ ô:r 1 [" ô-.r ô.r {ix~\
^iiàv du dç j ' L ô(^ôn' ûï' ôii'J ' I ÛH'ôw ôiv ô?aJ ' ^ '^
Ces trois équations montrent que sur chaque surface d'une famille les courbes déterminées par les intersections avec les surfaces des deux autres familles forment un réseau conjugué ; or, par hypothèse ce réseau est orthogonal. Il est donc formé par les lignes de courbure. •
42. — Nous allons déterminer la condition qui exprime que la fonction a: :^ /"(?/, ç, w) représente un système triple orthogonal. Les équations (V) peuvent être mises sous la forme
