VL
11 suffit, pour déterminer les coefficients Aj, Bj, A.,, B,, A^, B3 de faire intervenir les conditions d'orthogonalité.
Considérons à cet effet un déplacement quelconque dx par rapport au trièdre trirectangle formé par les tangentes aux trois courbes au point considéré. On a
dx^ -r— du -\- — - di' A~ - — • dw, ou oç ow
et, si l'on pose
^6- ;;=; Uiod dx = \' dX- J
UCYES DE COURBURE 77
l'élément Hnéaîro,dans le système orthogonal, aura pour expression
ds' = U^' du- 4- Y'-dv'- + "W'dw^
ou
où l'on a U
^'Atï' Mtï- «^-1.1:; r^^'")
Multiplions maintenant les deux membres de l'équation (VI,)
I dr par -— , nous aurons
I ou
Mais, en dérivant par rapport à p la première des relations (VII) il vient
ôu r ô^ d^l
dif L iiudç du J
On obtient donc pour A, la valeur
^ dU
on aurait de la même manière
V du
En procédant de même pour A^, B^, A3, B3 et en remplaçant
clans les équation (VI), on aura finalement le système d'équations aux dérivées partielles du second ordre
ou
ÔV
De
ôt;
Oi^
Ôïï'
ov
O.r Oc
ow
ow
ou
ÔTv
Ce système a été donné pour la première fois par Lamé. Il a été soumis à une étude très approfondie par M. G. Darboux dans ses Leçons sur la théorie générale des surfaces et dans ses Leçons sur les systèmes orthogonaux.
i Z. - Lignes asymptotiques.
43. — Nous examinons maintenant une autre famille de courbes qui, ainsi que les lignes de courbure, se rattache par les liens les plus étroits au système conjugué. Ce sont les lignes asymptotiques ; elles correspondent au cas où chacune des deux familles de courbes est conjuguée à elle-même. Ainsi nous appellerons ligne asymptotique d'une surface une courbe telle qu'en chacun de ses points la tangente coïncide avec celle qui lui est conjuguée.
La condition que nous avons obtenue pour les directions conjuguées (n° 35, form. V) devient ici
\de^ I dx^ = o. (1)
Cette relation renferme toutes les propriétés des lignes asymptotiques ; elle exprime que Vêlement linéaire dx est perpendiculaire à son image sphérique de., .
On peut aisément la ramener à la forme ordinairement employée. En effet, on peut écrire
Oe„
Tu ''"+ 37 ''")l = °'
LIGNES ASYMPTOTiqVES 79
OU, en efiectuant l'opération indiquée et en adoptant la notation de Gauss
D du' 4- 2 D' du ds> 4- D" dv- = o. (II)
Telle est, sous la forme connue, Téquation différentielle des lignes asymptotiques. Elle est du deuxième degré en— r — ; ses solutions sont réelles si Ton a
DD" — D'-^o.
On voit donc qu'en tout point d'une région où la courbure totale est négative passent, en général, deux lignes asymptotiques.
Il est aisé de reconnaître que la section normale faite dans une surface par un plan contenant la tangente à une asymptotique en un point, présente en ce point une courbure nulle. En effet, nous avons trouvé pour la courbure d'une section normale (n° 22, II).
Ainsi, le long d'une ligne asymptotique le rayon de courbure 0 est infini.
44- — On obtiendrait encore l'équation différentielle (II) en envisageant l'équation (Vil) du n** 36, qui, pour le cas particulier qui nous occupe doit être vérifiée par ou =du, w =dç.
Mais nous allons l'établir sous une autre forme qui nous conduira à une propriété caractéristique des lignes asymptotiques.
En différentiant l'égalité
[e., I dx] = o
on obtient
[de, I dx] 4- [e. \ d\r] = o
ou, en vertu de l'équation (I),
Cette relation exprime quen chaque point d'une ligne asynijj -
go DES LIGNES TRACEES SUR UNE SURFACE
(otique le plan oscillateur est tangent à la surface (voir n° 3 et 11° 17, form. II).
Voici maintenant une autre conséquence de la relation fondamentale
\de., |rf.r]= o.
Si Ton remarque que l'on a
\e., I dx\ = o
on pourra écrire
[(<?,-}- de^ I dx\ = o,
d'où l'on déduit que l'élément d'arc d'une asymptotique est la perpendiculaire commune des normales à la surface menée en chacune des extrémités.
On reconnaît donc qiie pour la surface réglée engendrée par les normales à la surface le long d'une asymptotique, la ligne de striction coïncide avec cette asymptotique.
45. — Déterminons l'angle que forme une ligne asymptotique avec l'une des lignes de courbure. Nous avons trouvé pour la courbure d'une section normale en fonction des courbures principales (n° 25)
— = — cos es -| sin*^ '^,
? Pi ' h
'■0 étant l'angle que forme la direction choisie avec la direction principale correspondant au rayon Pj. On en déduit, pour - =0
tango==ty/-^. (IV)
Cette relation donne l'angle cherché ; elle montre qu'en tout point pris dans la région où la surface esta courbures opposées, les directions principales sont les bissectrices des angles formés par les directions asymptotiques. De plus elle permet de reconnaître que le réseau formé par les lignes asymptotiques ne peut être orthogonal que si l'on a en chaque point de la surface
UGSES ASVMPTOTIQIES 8i
Pj = — p,, c'est-à-dire seulement clans le cas où la surface proposée est une surface mininia (voir Ch. IV, •!( y).
46. — Cas pauticli.iehs. — a) Nous allons «Hablir la condition à laquelle doit satisfaire l'équation de la surface
pour ([ue les paramètres //, i> correspondent aux lignes asymptotiques.
L'équation fondamentale
[de.^ \ (l.r] = 0, donne pour chacune des directions asymptotiques
I(\e., I ù.r "I r de, \ O.r |
ou
"■ hv?
c'est-à-dire D=o et D''=o Mais comme on a
les deux équations (V) pourront être mises sous la forme
du (>(> du- J l du dv d\>- J
Les vecteurs
dx dr d'x d'x dTt' ô^ ' di?' ô^'~ '
étant coplanaires, on aura donc
d'x du''
du
dx (V
d\v dv'
du
dx
Ff.hr. Géométrie
infin.
(vi;
DES LIGNES rn.iCÉES SUR USE SURFACE
Tel est le système tréquations difïerentielles qui doit Mro vérifié par la fonction .r pour que les courbes coordonnées soient formées par les lignes asymptotiques de la surface.
Dans ce cas particulier Téquation diderentielle des lignes de courbure de la surface prend une forme remarquablement simple. Elle se réduit à :
K dir — G (h'- ■■^= o.
Il en est de même des expressions des couibures tôt; moyenne et moyenne quadratique ; on obtient
le
