D'* __ FD

~~ II ' ^« — — ,j. '

p/2 (p2 ^ pG^

li) Déterminons maintenant l'équation dilFérentielle des lij asymptotiques pour le cas particulier où l'équation de la sui est rapportée au réseau formé par les lignes de courbure.

L'équation vectorielle

rues face

[de., I d.r] = o

do ni

[(^ ""+ la' "•■)|(;^""+I^^ '"■)]="

L il, Un J + i L '^'' I >>" J L il" ili' J '

+ LiV ô?l''"'=°-

Le second terme de cette équation disparaît (en vertu des formules (IV), (n" 35), puisque le système (//, <») est conjugué. De plus on a (n" 38, III)

f.ia.XFS GKODÉSIQL'ES 83

L'équation dilTérentiolIe dos lignes asyniptotiques se réduit donc \\ la lornie simple

Dans le cas d'une surface mininia on aura simplement

ou

Erf//2 — Grf^'2 = o.

Si sur une pareille surface le réseau (//, c) est isométrique, c'est-à-dire tel que l'on ait

on aura pour les lignes asymptotiques l'équation

du = ±:r/('.

On voit donc que le réseau formé par les lignes asymptotiques d'une surface minima est déterminé par les diagonales du réseau isométrique des lignes de courbure.

>5 4. — Lignes géodésiques.

47. — Nous adopterons comme délinition des lignes géodésiqucsd'une surface leur propriété caractéristi<{ue d'après laquelle, en chacun de leur point, le plan osculateur à la courbe est normal à la surface. Cela revient à dire que les lignes géodésiques sont des lignes tracées sur une surface de telle façon que la normale principale à la courbe, en chaque point, soit normale il la surface.

Soit e' le vecteur-unité normal à la surface

Toute courbe tracée sur la surface est déterminée si l'on donne les paramètres it et v en fonction d'une variable que nous sup-

8i DES LIGNES TliÀCÊES SIR [NE SURFACE

poserons d'abord, pour pins de simplicité, être l'arc .v de la courbe. La direction de la normale principale à la courbe est déterminée par le vecteur

d\v as'

11 suffira, pour obtenir l'équation did'érenlielle des lif^nes géodésiques, d'écrire que cette direction coïncide avec e., ; on a donc

rd^ X ~\ ^' 17 \'' "" [^,.r"J = o. (I)

(Considérons maintenant le cas plus général où la coiirbe est donnée en fonction d'une variable quelconque t. Nous parviendrons il une nouvelle forme de l'équation des lignes géodésiques en écrivant qu'en tout point de la courbe la normale e., \\ la surface est contenue dans le plan osculateur à la courbe.

Or, on a trouvé pour l'équation de ce plan (n° 3)

r , -. dx d-.v 1

l'équation difrérentlelle est donc