CHAPITRE PREMIER
DES COURBES GAUCHES
§1. — Généralités.
1 . — Nous supposerons toujours que, dans l'équation générale d'une courbe
la fonction /'(/) est développable par la formule de Taylor aux environs de toute valeur l comprise dans un certain intervalle, sauf de certaines valeurs isolées.
Nous admettrons sur la courbe comme sens positif, celui qui est déterminé par les valeurs croissantes de la variable t. Au lieu de la variable arbitraire t, il sera souvent préférable de choisir l'arc s compté dans le sens positif à partir d'un point fixe situé sur cette courbe.
2. — A deux points infiniment voisins M et Mj pris sur la courbe
correspond un vcclour infiniment petit r/.r.
Il est évident que cette droite infiniment petite a pour direction celle de la tangente à la courbe au point M.
Soit ds la longueur de l'arc MM, ; on a
ds = mod dx = \ dx- .
Dans le cas d'une variable quelconque f, on aurait
ds dx
-— = mod -7dt dt
v/[^tJ
DES COURBES GAUCHES
Le vecteur infiniment petit dx étant dirigé suivant la tangente, il est clair que la dérivée -^ représente un vecteur de longueur unité ayant même direction et même sens que dx. Représentons-
Fig. 2.
le par e„=MV. Il s'ensuit que la direction de la tangente en un point M de la courbe est donnée par le vecteur-unité
dx
La tangente en un point M de la courbe est représentée par l'équation
dans laquelle \ est un vecteur allant de l'origine a un point quelconque de la tangente.
Le plan normal à la courbe est donné par l'équation
dx
3. — Nous allons établir l'équation du plan oscillateur en adoptant pour ce plan la définition suivante :
Le plan osculateur en un point M est la limite vers laquelle tend un plan passant par la tangente en ce point et par un point Mj infiniment voisin de M.
L'équation d'un plan passant par M est de la forme
dans laquelle n désigne un vecteur normal au plan.
