GÉNÉRALITÉS
Pour que ce plan contienne la tangente en M il faut que l'on ait
[^.fjn] = o, (2)
relation qui exprime que le vecteur n doit être perpendiculaire à la tangente en M.
Le point M, infiniment voisin de M est déterminé par
// flv W d\v h"" d'.v
h étant l'accroissement donné h la variable indépendante t. Le plan (i) devant contenir ce point, on a
\ dt \ A 1.2 L 0^/- I J 1.2.3 L rf^' I J
Le premier terme est nul en vertu de la condition (2) ; supprimant le facteur — et faisant tendre h vers zéro, on aura finalement
Le vecteur n doit donc être perpendiculaire à la fois aux vec-
djc d^x ,
teurs -V- et -rr- ; on peut donc écrire
dt df '■
\r dx d\vl î r dx r/-.r -|
n = I -7- -rr I O" r^=l -r- -J-r h
|L df dl' A I L (ft dt- J
et l'on obtient pour l'équation du plan osculateur
r,. , dx d\v "1
On reconnaît immédiatement que, dans le cas où la variable
d-x indépendante est l'arc s, le vecteur x" =^ -^ est perpendiculaire
au vecteur tangentiel. En effet de l'égalité
a4 DES COURBES GAUCHES
on tire
'A dF]
as
Le vecteur x" contenu dans le plan osculateur et dirigé perpendiculairement au vecteur tangentiel détermine la direction de la normale principale. Soit Cx le vecteur-unité qui fixe cette direction ; on aura
ou
lod x" v'y'£
§ 2. — Courbure et rayon de courbure.
4. — Eltudions la variation de la direction de la tangente lorsque le point de contact se déplace sur la courbe (C). A cet efFet, considérons la courbe sphérique (F) décrite par l'extrémité du vecteur-unité y mené par le point 0 parallèlement au vecteur tangentiel e„, lorsque celui-ci se déplace d'une manière continue sur la courbe.
La courbe (F) porte le nom d'indicatrice sphérique des tangentes. A tout point M de la courbe (C) correspond un point M„ de la courbe (F). On a la relation
L'angle formé par les tangentes menées aux points infiniment voisins M et M' sera mesuré par l'arc M^M^' de la courbe sphérique.
La limite du rapport de cet angle à l'arc MM' porte le nom de
courbure de la courbe en M. En désignant cette limite par — ,
on aura
— =rnod -j- =Vy'i
ds
Le nombre p ou l'inverse de la courbure porte le nom de rayon de courbure. De l'équation de la courbe sphérique
V = e„ is\
