TORSION; FORMULES DE FRENET
on déduit
relation qui exprime que la langenfe à l'indicatrice est parallèle à la normale principale.
La longueur de l'arc r/y étant donnée par l'expression
arc d^ = ^^^ = V/[^Y Y ^f' ' on aura, pour la courbure
Introduisons le Vecteur ex qui détermine la direction de la normale principale
on pourra écrire
e^ = py ,
ou encore
de„ ds
Le point i\ = M + pe),, situé sur la normale principale en M, est appelé centre de courbure au point M.
Remarque. — Les relations qui précèdent ont été obtenues en prenant comme variable indépendante l'arc s. Il sera facile, en suivant une marche analogue, de traiter le cas où l'équation de la courbe est exprimée en l'onction d'une variable <[uclconque.
§ 3. — Torsion ; formules de Frenet.
5. — Considérons, en un point M d'une courbe gauche, la tangente et la normale principale, et menons en ce point la perpendiculaire au plan osculateur. Cette droite porte le nom de hinormale. Nous admettrons que la tangente soit menée dans le sens des arcs croissants et que la normale principale soit dirigée
26 DES COURBES GAUCHES
du point M vers le centre de courbure. Le sens de la binormale sera déterminé plus loin. Soit c, le vecteur-unité déterminant
la direction de cette droite ; on aura, en conservant pour le moment le double signe,
■ e,=ztl[c\e;\ e^=±\[e;e,]
et, de plus
[e„.eve^]=it I.
Les vecteurs e^, ei, e„ étant perpendiculaires deux à deux, on a, en outre
[e„,\ei]==o, [e-J(?,]=o, [e^\e,,]=:o.
Etudions la variation de la direction de la binormale lorsque le point M se déplace sur la courbe. Nous considérons, comme plus haut, le vecteur-unité 7j mené par le point fixe O parallèlement aux vecteurs e,. Pendant le déplacement de M sur la courbe, l'extrémité M, du vecteur r^ décrira une courbe appelée indicatrice sphérique des binormales.
On a donc
L'arc dr^ mesure l'angle formé par les plans osculateurs en deux points infiniment voisins M et M'.
TORSION; FORMULES DE FRENET a^
La limite du rapport de cet angle à l'arc correspondant MM' porte le nom de torsion de la courbe en M.
Le nombre x ou l'inverse de la torsion est appelé rayon de torsion. On a donc, par définition, en désignant la torsion
par - ,
— :^ mod — î- = i/Ziï .
et, puisque Ton a, pour la courbe sphérique
on pourra écrire
I , de, —
- = mod -7- =\/p' *
- ds V e ,- .
Nous allons montrer que ej est parallèle à la normale principale.
En effet, de la relation
on déduit
r de, \ -I r \ de,-]
or le second terme de cette équation est nul en vertu de l'expression
de,
il reste donc
as 0
relation qui signifie que eJ est perpendiculaire à e^. Mais, en différentiant e,-= i , on obtient
d'où il résulte que eJ est perpendiculaire à e„. On reconnaît donc que le vecteur eJ est parallèle à la normale principale.
DES COURBES GAUCHES Le module de ce vecteur étant désigné par — , on aura donc
la relation
. ils
de„ I
6. — Déterminons maintenant le module de e„\ c'est-à-dire calculons l'expression SeJ-. Les équations de condition
donnent par dérivation
D'après les deux premières égalités on reconnaît de nouveau que ej est perpendiculaire à la fois à e, et à x' , et que, par suite, il est parallèle h x" . On peut donc poser
el='^x",
|ji étant un nombre qu'il reste à déterminer, té devient alors
[ej\x"] + [ \xx" I x"] = o,
La troisième égalité devient alors
d'où l'on tire
'xx"i = — [t?i|'^"'] ; mais, d'après
e, = d= I [ e^e-, ] = ±p\[x'x"] et
on a
et, par suite,
(') On démontre facilement que l'on a [ | [aj a,] I '^3] = [*i ^i '^sJ-
TORSION; FORMULES DE FRENET Ainsi Ton a
e; = =rp'[.rW"].r".
La valeur de la torsion devient alors
S/e'J. = q= p^ [s'x"j-"'] \/.r"î =h2 p^ [.r'x"a"'] = zt ^ ^
Nous choisissons le signe de la torsion de manière que le vecteur ej soit dirigé dans le même sens que le vecteur ex. H suffit donc que, dans les formules précédentes, on prenne le signe supérieur si [x':v"x"'] est négatif, ou le signe inférieur si ce trivecteur est positif.
Fi g. ',.
Si donc on considère le cube ayant comme arêtes la tangente, la normale principale et la binormale, on voit que les vecteurs de^ et de, prennent la direction de ei .
j. — La considération de la courbure et de la torsion nous a conduit aux deux relations
(Je^
de,
dex
Il nous reste à déterminer la valeur de -7-^ . En dérivant
ds
on a
'h =-^\[e 'iî^l-Hir^ p 1 ds ~ \l " di, J ~ [[ ds " J
3o DES COURBES GAUCHES
OU, d'après (FJ et (FJ
ou, finalement
-- =zt - \ye,e-,\±: - \\e;,e,, ds P '
de^ 1 I
as p ^^ T
On reconnaît donc que le vecteur e{ est parallèle au plan e^et. Les relations (F,), (FJ, (Fg), constituent ce que l'on appelle les formules de Frenet.
§ 4. — Courbure normale ; formule de Lancret.
8. — Après avoir étudié la courbure et la torsion d'une courbe en ayant recours à l'indicatrice sphérique des tangentes et des binormales, nous examinerons la variation de la direction de la normale principale.
Nous appellerons courbure normale ou troisième courbure d'une courbe en un point donné, la limite du rapport de l'angle de deux normales principales infiniment voisines à l'arc correspondant de la courbe.
Soit Z) le vecteur-unité variable issu du point O et déterminant la courbe sphérique des normales principales.
Si l'on désigne la courbure normale par - , on aura, par définition
mais
donc
— = mod -y- =\/,r.'i .
V ds '^ T - '
d'j) = de,.
COURBURE NORMALE; FORMULE DE LANCRET Or, on a (FJ
dex I I
as 0 ^^ T
et, par conséquent.
[" de-, dex 1 i
L ds ds J p'^
La valeur de la courbure normale a donc pour expression
Cette relation entre les trois courbures est connue sous le nom de formule de Lancret. Elle intervient d'une manière très utile dans l'étude des surfaces réglées qui se rattachent à une courbe donnée.
