DE LA THÉORIE DES SURFACES GÉNÉRALITÉS; RELATIONS FONDAMENTALES

§ 1. — Généralités.

9. — Coordonnées curvilignes sur une surface. — Nous avons vu dans V Introduction qu'une surface pouvait être représentée par une équation de la forme

Cette équation donne deux systèmes de courbes situées sur la surface, suivant que l'on assigne une valeur particulière à l'une ou à l'autre des variables u ou i^. Tout point M de la surface est déterminé si l'on donne aux paramètres u et (^ des valeurs particulières ?/, et ç^ ; il se trouve à l'intersection des courbes

Ces paramètres n et i' ont reçu le nom de coordonnées ciiri>ilignes, tandis que l'ensemble des courbes coordonnées 7/ = const. et f' = const. s'appelle un réseau.

Dans la suite nous supposerons toujours que, dans un intervalle donné pour les variables u et i>, la fonction /"est déterminée, finie et continue, et que, sauf en des points particuliers ou le long de certaines courbes, elle possède des dérivées premières, secondes et troisièmes finies et continues.

10. — Élément linéaire. — Désignons par (IH les courbes (' = const. le long desquelles le paramètre u est variable ; de même soient (V) les courbes u = const. le long desquelles v est variable.