GÉNÉRALITÉS

Donnons aux paramètres u et ^ des accroissements du et di>, et considérons les courbes (U) et (UJ pour lesquelles if prend les

Fig. 5.

valeurs constantes r et ç-\-dv; de la même manière, soient (V) et (V,) les courbes correspondant à u et u -j- r///. Le point M [n^ç) vient alors en M' (m -j- c?w, ç-\- di>).

Lorsque la variable u seule varie, on a sur la courbe (U) un arc Mi\I, = fZ„.r," on a de même sur (V), pour w = const., un arc

On a

d^œ = X. — .r = -— du

Les dérivées partielles 4-- et -^ représentent les vecteurs

^ ou o^> ^

tangentiels aux courbes (U) et (V).

L'élément d'arc MM' est déterminé par la relation

ds = mod dx = V' dx- .

Mais

, ô:r dx ,

dx= rr— du-\- -— dv, ou 0(f

d'où l'on lire

L ^// J L *)« I "t» J L oc J

En posant, selon la notation de Gauss,

Fehr. Géométrie iniln.

l'expression de l'élément linéaire prendra la forme ds^ = ]Ldir -\- 2.¥dudç -{- Gdi^'.

Les quantités E, 1'', G, portent le nom de quantités fondamentales du premier ordre.

Nous conviendrons que sur chacune des courbes (U) et (V) le sens positif est celui qui correspond aux valeurs croissantes du paramètre. Si nous représentons par d^^s et d^s la longueur des éléments d'arc comptés sur chacune de ces courbes, nous aurons

d^s=^ V^Ë du et d^ .s = V g" d\> ,

les racines étant prises avec le signe positif. D'après l'expression

[ô.r ô/rl 07/ I Ù^J

on reconnaît immédiatement que les courbes (U) et (V) ne peuvent se couper à angle droit que si l'on a F:= o.

II. — Vecteurs-unité <?„, e^. — Pour faciliter les recherches

- 1 . , dx dx .

nous remplaçons les vecteurs tangentiels y~ ®*' T~ ' P^'^

vecteurs-unité obtenus en divisant chacun d'eux par son module. Nous posons donc

^x dx

du dç

En introduisant les quantités fondamentales, on aura I ôj: I ô.r

Ces relations permettent de déterminer l'angle a formé par les courbes (U) et (V) en un point donné.

GÉNÉRALITÉS y-,

En effet, on a

[D.-r I {Sx ~| 5^ ô^ J F

cosa = [<'„|e„ J = -è= = -7=;

\/EG v/EG

d'où l'on déduit

\/EG — F- \/rG — F^

sina= — et tanffa= ^r .