EG ^ F
12. — Elément superficiel. — Considérons le quadrilatère formé par les courbes (U), (UJ, (V) et (VJ. Nous pouvons, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, l'envisager comme un parallélogramme. En appelant diù cet élément superficiel^ on aura
(hù =\iLx d^;v]=\ ■—- -— \dudv.
Le produit extérieur I t~" r~' 1 définit une portion finie du
plan tangent ; nous l'appellerons le champ tangentiel. Déterminons sa valeur absolue, c'est-à-dire, calculons l'expression
[O.r ox T-
A cet efi'et considérons le vecteur n normal à la surface et défini par l'égalité
On a
<ix iSx
[(Sx ùx "I
et, en appliquant une relation déterminée plus haut {Jnlr. V), on pourra écrire
n iî r Oj: 0:r "ji r ()x 'V-V ^x 'V- V O.r 1 O.r "Il
L''^^" ^Vi7i ^ \ym\ L ô^ J ~~L ô7i I ô^ j
ou
/ji = EG — F-.
L'élément superficiel a donc pour mesure
V^EG — F- dudi'.
On parviendrait encore à cette expression en effectuant direc- • tement le produit
c^ijS c?„ s sina,
i3. — A l'aide du vecteur normal n on obtient facilement l'équation de la normale à la surface ainsi que celle du plan tangent.
En désignant par ^ le vecteur joignant l'origine 0 à un point quelconque de la normale, il suffira, pour établir V équation de la normale^ d'écrire que les vecteurs ^ — x et n coïncident ; donc
[il-s)n] = o ou [(^— )|(o^ %)]=''■
Le plan tangent sera représenté par l'équation
r/v Nil F/y \ ^^ ^■^' 1
[(^ — •^)K^] = o ou |^(ç— ^) ^ ô;,J=^-
i4- — Angle formé par une courbe avec les courbes coordonnées. — Soit (C) une courbe quelconque passant par un point donné M («, f) de la surface. Déterminons l'angle formé par cette courbe avec les courbes coordonnées (U) et (V). Nous supposons que sur cette courbe on ait fixé le sens positif de l'arc.
L'équation de la surface étant x=f(^u^ ç^), une courbe quelconque tracée sur la surface sera déterminée si l'on donne les paramètres u et ç' en fonction d'une nouvelle variable t,
U^^(D[t) ç^z=<il[t).
La substitution de ces valeurs dans l'équation de la surface donne l'équation de la courbe (C)
Prenons, pour simplifier, au lieu d'une variable quelconque f, l'arc s de la courbe.
GENERALITES 3^
La direction des tangentes aux courbes (U), (V), (C), est - déterminée par les vecteurs-unité.
I d^ i (Sx dx
dx En appelant 0 l'angle formé par les vecteurs e„ et -^ — , on
aura
ou
I / du „ d\>
^jr" \ ds ds
De la même manière la formule
sin
donne
sin 8 =
Pour le cas des courbes coordonnées rectangulaires (F=o), on a simplement
f, , du . . dv
cosO = v'E ^ smO=v/G^-
i5. — Conditions d'orthogonalité de deux courbes. — Envisageons maintenant une seconde courbe (C) passant par le point M et déterminons la condition d'orthogonalité des. courbes (C)et(C').
Soient dx et 6x les directions des lancentes menées en M respectivement aux courbes (C) et (C). Il faut que l'on ait
\dx \ox] =: o, ou
f / dx , dx , \ / dx . O.r . \ 1
En effectuant cette multiplication on trouve pour la condition d'orthogonalité la forme connue,
Ec?«ô« + F {^duov-\-dçùii) -\- Gdi>hv = o.
i6. — Réseau isotherme. — Etant donné sur une surface un système orthogonal de courbes coordonnées, on dit que ces courbes forment un réseau isotherme lorsqu'elles divisent la surface en carrés infiniment petits.
Soient
d^s =. V E du d^s = V G dç.
les éléments d'arcs comptés sur les courbes coordonnées.
A des accroissements égaux de du et de dv^ doivent correspondre des éléments d'arcs égaux, donc d^s—-d„s. Il faut donc que l'on ait
c'est-à-dire
VûMtl-
Telle est la condition pour que le système orthogonal des courbes (U) et (V) forme un réseau isotherme. L'élément linéaire prend alors la forme
ds- = \{u,v){du''-\-dv'-).
Nous n'examinerons pas ici la détermination d'un pareil système ; la méthode vectorielle ne modifie guère l'exposé que l'on trouve dans les traités consacrés h la géométrie des surfaces.
§ 2. — Relations fondamentales.
17. — Forme fondamentale du second ordre. — L'équation d'une surface étant donnée sous la forme x=^f{u^{>), nous avons, de la différentielle première
dx = ^- du-\- —- d{>, ou ov
