V. x 4- h ,ph log

i . x -+- i i x + a - log h — log

-IUU 1- TlUÏ 1- . . . -t- — r IUK

pour le paradoxe de Saint-Pétersbourg.

Cette série est manifestement convergente.

28. Ruine d'un joueur. — Deux joueurs, dont l'un, A, possède m francs, et l'autre, B, n francs, jouent à ifr la partie et poursuivent le jeu jusqu'à ce que l'un des deux soit ruiné. La probabilité pour que cet événement se produise sera une fonction de m et n, op(m, n), et comme la somme des fortunes, m -+-n=s, est une constante, <p sera fonction de s et n, c'est-à-dire de n. Appelons ©(«) la probabilité pour que B finisse par être ruiné : nous supposerons ici que les conditions ne sont pas équitables.

Si A, à chaque partie, a la probabilité p de gagner, B a la probabilité i — p.

On joue une partie nouvelle. Deux hypothèses se présentent : A va gagner etB aura (n — i)fp; B gagnera et aura

<p (n) comprendra donc la probabilité pour que B perde cette partie et finisse par être ruiné, soit p o(n — j), et aussi la probabilité pour que B, gagnant cette même partie, finisse également par être ruiné, soit (i — p) cp i).

(n + if;

cp(/i) =/> <p(/i — i ) -+- ( i — p)y(n + i).

Cette relation de récurrence servira à déterminera} (n). Il faut, en outre, connaître les conditions limites.

l'espérance mathématique.

Si n = o, B serait déjà ruiné; si n = s, m rien. Donc 9 (o) =■ i , cp (s) =o.

= o, A n'aurait