Supposons, en particulier, oc=o, d'où /?4 = o; alors
Pi + p2 — ps.
Lorsque les deux événements ne peuvent arriver tous deux à la foi;, la probabilité de A et celle de B ont pour somme la probabilité pour que l'un quelconque se produise.
Ainsi, quand un événement peut se produire de deux manières différentes, mais que ces deux manières ne peuvent arriver simultanément, la probabilité de l'arrivée de cet événement est égale à la somme de la probabilité pour qu'il se produise de la première manière et de la probabilité pour qu'il se produise de la deuxième manière.
C'est le théorème des probabilités totales.
\k. II peut arriver que p5 ~px. Alors
d'où
oc 4- y ■&•+• p -hy-h 3* oc — a-h{3 '
oc 4- (3
oc 4- (3 y 4- a
oc y
eup a y
Quand cette dernière condition est remplie, on a px =psi on a aussi pt = p6, en permutant a avec (3, y avec <5; on a
encore p.2 == ply car px se permute avec pt et p5 avec /?7; de même p.2 = ps.
Ainsi
Pl=fi5=PS, P2 = Pl=Pf
En d'autres termes, la probabilité pour que A se produise reste la même si l'on sait que B s'est produit ou si l'on sait que B ne s'est pas produit; ou, enfin, la probabilité de A est indépendante de B.
On dit que les deux événements sont indépendants.
De psr=zplf on déduit
Pi —PiPi ■
la probabilité pour que les deux événements se produisent, s'ils sont indépendants, est le produit de la probabilité de chacun des deux événements.
C'est le théorème des probabilités composées.
15. Dans un jeu de 32 cartes, on tire i cartes à la fois. La probabilité pour que la première soit un roi est
la probabilité pour que la seconde soit un roi est
la probabilité pour que les deux cartes tirées soit précisément deux rois est
On cherche parmi tous les arrangements des cartes deux à deux: soit 32 x3i, ceux qui sont favorables à l'événement: il y en a 4 x 3, car il y a 4 rois dans le jeu, et on peut former avec eux, 2 à 2, autant d'arrangements qu'avec 4 lettres 2 à 2.
La probabilité pour que, dans les- 2 cartes, il y ait au moins un roi est
8 x 3i — 12 p> = px + Pi-p>= g— % .
11 faudrait se garder de dire que la probabilité pour que l'on ait au moins un roi est le double de la probabilité pour que l'on ait un roi.
Une urne renferme- A boules numérotées de 1 à k. Si l'on cherche la probabilité d'amener le n° 1, en tirant deux boules à la fois, le 1 peut figurer soit sur la première boule, soit sur la seconde; les deux événements sont incompatibles et la probabilité totale est
Pi + Pt= j-
Revenons aux rois du jeu de cartes. Les événements sont-ils indépendants?
On n'a pas />t = P\]h> niais /?4 — ptp^
En se reportant àda signification de plt on voit que, si le premier événement A s'est produit, il ne reste que trois rois et 3i cartes, et la probabilité pour que B arrive est
Ainsi
- 4 x 3 Pk~ 32 x 3i "
PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 4j
Autre exemple d'événements indépendants : je jette deux dés; quelle est la probabilité que chacun amène 6 ?
La probabilité que l'un amené 6 est ^;
— 1 autre — 7.
La probabilité que tous deux amènent 6 est car les deux événements sont indépendants.
16. Cette condition n'est pas toujours aussi évidente, et on pourrait faire de ce théorème un usage illégitime qui s'est rencontré plusieurs fois.
Au tir au pistolet, je cherche la' loi probable des écarts : je ne me suis rien donné, ni sur le tireur, ni sur Je pistolet. C'est une question dans le goût de « l'âge du capitaine ».
Prenons cependant deux axes de coordonnées, ayant pour origine le centre de la cible : soient x et / les coordonnées rectangulaires d'un point M, p et co ses coordonnées polaires.
Le problème reste indéterminé, si nous admettons que la probabilité des écarts est la même dans loutes les directions.
La probabilité que M se trouve dans un petit élément de surface da peut se figurer par
f(x,y)da.
Il faut déterminer f(x,y); cette fonction ne doit dépendre que de p pour que la probabilité reste la même dans toutes les directions : cette probabilité s'écrira donc
4l CHAPITRE II.
Cherchons la probabilité pour que l'abscisse du point de chute soit comprise entre x et x -+■ dx; elle se représentera par
<p(x) dx.
De même, la probabilité pour que l'ordonnée du point de chute soit comprise entre y et y + dy se représentera par
4^ ( y ) dy-
Mais on doit supposer que 9 et ^ sont égaux pour que la probabilité reste la même dans toutes les directions; dans le second cas, on aura doue
Le raisonnement va devenir incorrect : cherchons la probabilité pour que M se trouve dans un petit rectangle de dimensions dx et dy. Deux événements doivent se produire à la fois : r° l'abscisse est comprise entre x et x-\-dx\ 20 l'ordonnée est comprise entre y et y -f- dy.
En vertu du théorème des probabilités composées, la probabilité actuelle sera
cp( x) <p(/) dx dy.
D'autre part, cette probabilité s'exprime par /(p) da; on a donc
Prenons les dérivés logarithmiques des deux membres par rapport à x, en tenant compte de p' = x- 4- j 2,
/'(p) £ m Ap) p"
Ainsi
et, par analogie,
Le premier membre de chacune de ces équations dépend soit de x, soif, de r; comme ils sont égaux, ils sont constants.
xo(x) '
i0gÊcp(^).= — -+-l'OgeC, hx* '
<p(ar) — Ce 2
Ce raisonnement est incorrect : on a appliqué le théorème des probabilités composées, c'est-à-dire, qu'on a supposé les événements indépendants; autrement dil, que les écarts suivant" l'axe des x sont indépendants des écarts suivant l'axe des y.
Décrivons quatre aires égales à de autour des quatre sommets À, B, C, D d'un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. Appelons a, (3, y, <5 les probabilités respectives pour que M tombe dans chacun de ces éléments.
J'ai supposé que l'écart en ordonnée était le même pour B et D, situés sur la même parallèle à l'axe des x; que l'écart en abscisse était le même pour A et B, situés sur la même parallèle à l'aie des y; en d'autres termes, que a y
5 = ki ce qui est une hypothèse absolument gratuite.
17. Maxwell a commis la même erreur dans la théorie des gaz. Considérons un gaz comme formé d'un très grand nombre de molécules animées de vitesses différentes; com-
44 CHAPITKE II.
ment les vitesses seront-elles distribuées entre les molécules ?"
Choisissons trois axes de coordonnées rectangulaires et, par l'origine, menons un vecteur représentant en grandeur, direction et sens la vitesse de ces molécules. Évaluons la probabilité pour que l'extrémité M du vecteur se trouve dans un petit élément de volume rfr.
Si je suppose, ce qui est naturel, les vitesses également susceptibles de toutes les directions, cette probabilité se représentera par
f(r)dr..
La probabilité pour que la première coordonnée soit entre x et x 4- dx' s'écrira y(x)dx; la probabilité pour que la seconde coordonnée soit entre y et y -+• dy s'écrira a{y)dy; la probabilité pour que la troisième coordonnée soit entre z et z h- dz s'écrira y(z)dz,
La probabilité pour que M soit dans un petit parallélépipède de deux côtés parallèles aux axes étant /(r)dxdydz, si le théorème des- probabilités composées était applicable, on aurait comme tout à l'heure
f(r) = <D{x)c?{y)y(z), ce qui est incorrect.
18. Problème du scrutin. — Ce problème admet une solution élégante due à M. J). André.
Deux candidats A et B sont en présence; un électeur bien informé sait à l'avance que A aura m voix et B n voix, m étant plus grand que n. On demande la probabilité pour que A garde la majorité pendant tout le dépouillement du scrutin.
Pour évaluer, le nombre des cas possibles, constatons que les m bulletins A et les n bulletins B peuvent se présenter dans autant d'ordres différents qu'il y a de permutations avec rép'étition de m lettres A et « lettres B, soit
Je partage ces cas possibles en trois groupes.
Dans le premier, je range tous les cas où A a la majorité au début et la conserve tout le temps, soit Ni cas tous favorables.
Dans le deuxième, je range tous les cas où le premier bulletin est un bulletin B ; A perd donc la majorité au début ; ce sont N2 cas défavorables.
, Dans le troisième, je range tous les cas où A a la majorité au début, mais la perd ensuite avant de la retrouver à la fin; ce sont N3 cas défavorables.
On a
et il s'agit de calculer
Évaluons N2 : le premier bulletin dépouillé porte B ; supprimons-le, il reste m bulletins A et (n — r) bulletins B. Le
nombre des cas possibles est (m ~^n -—-11, et donne la 1 mi {n — i)l
valeur de N2.
Je vais démontrer que N3 — N2.
Lemme. — Supposons qu'il y ait égalité de voix dans le scrutin : A a q bulletins, B a q bulletins. Admettons également que À. a la majorité au début, et qu'il la conserve jus-
qu'au dernier bulletin, où il la perd, puisqu'il y a finalement égalité; le dernier bulletin est donc au nom de B. Dépouillons dans l'ordre inverse : B perdra la majorité au derpier bulletin seulement.
A un moment déterminé du scrutin, on a dépouillé a bulletins A, et b bulletins B, et l'on a trouvé a > b, puisque A a la majorité. Il reste à dépouiller q — a bulletins A, et q — b bulletins B.
Dans l'ordre inverse, le scrutin aurait donc montré q — b > q — a,
c'est-à-dire que B aurait eu la majorité. Ce lemme établi, revenons au problème qui nous occupe. Considérons unè combinaison et du troisième groupe
(a) AABAB | BABAA.
A a la majorité jusqu'au trait, puis, au bulletin suivant, il la perd pour la première fois. A gauche du trait, s'il y a q bulletins Â, il y a q — i bulletins B, soit en tout nq — \ bulletins.
Considérons une autre combinaison, que nous appellerons dérivée de a,
BABAA | AABAB.
On l'obtient en prenant successivement dans a les bulletins de rang
2<y, 2</-t-I, 2<7-i-2, m-\-n, i, 2, iq — i,
c'est-à-dire en transportant à gauche du trait ce qui était à droite, et inversement.
Le(2<7)c bulletin étant, par définition, le premier qui fait
perdre à A sa majorité, chaque combinaison a a une dérivée et une seule.
Considérons maintenant une combinaison [3 du second groupe : elle commence par B
A a la majorité à la fin.
Formons une combinaison j3' de la manière suivante : d'abord le premier bulletin B, puis le dernier bulletin de (3, puis le pénultième, etc., c'est-à-dire les bulletins de (3 en ordre inverse jusqu'au second.
11 est clair que B a d'abord la majorité, puis qu'il finit par la perdre.
Supposons que le {ipY bulletin fasse perdre, pour la première fois, la majorité à B; ici, c'est le second.
La combinaison (3 ' sert à définir le nombre p : il n'y en a qu'un.
Le bulletin qui occupe dans [3' le {ipY rang occupe dans (3 le ( m -h n -+- i — ip )e rang.
Dans (3, je place un trait avant le terme qui occupe ce rang
((3) BABAAAB | A.
Considérons enfin la combinaison suivante, que je désignerai par y et que j'appellerai la dérivée. de (3; je commence par les bulletins à droite du trait (ici il n'y en a qu'un), et je reprends tous ceux qui sont à gauche.
BABAAAB A ;
BABAAABA.
A | BABAAAB.
Les bulletins de (3 ont été pris dans l'ordre
m 4-/1+ 2 — ip, m-\-n, i, 2, m-\-n — ip, m-h/i-F i — a/>.
Jerdis que cette dérivée appartient toujours au troisième groupe.
D'abordle (m + K + 2- 2/;)e bulletin doit être A, puisque dans (3' il fait'perdre la majorité à B; donc y commence par A. V
A ne conservera pas tout le temps la majorité. En effet, les ip premiers-bulletins de y sont, dans un ordre différent, les 2/3 premiers bulletins de (3'; et par hypothèse, après le dépouillement de ces ip bulletins, il y avait égalité entre les deux candidats.
Donc, dans y, A aura perdu la majorité et y appartiendra au troisième groupe. 1
Ainsi, toute combinaison du second groupe a une dérivée, et une seule appartenant au troisième groupe.
Si,- pour une combinaison a appartenant au troisième groupe, je forme sa dérivée (3, puis la dérivée de [3, je dis que je retombe sur a.
Démontrons que le q de a correspond au p de (3.
En effet, formons (3'
((3') BBABAA | AABA.
Si je prends les iq premiers bulletins de (3', ce sont précisément les iq premiers bulletins de a dépouillés dans un ordre inverse, et, d'après le lemme, B n'y perdra la majorité qu'à la fin; or, nous savons, d'autre part, que B ne perd la majorité dans (3' qu'au (2/?)e bulletin; donc
et la dérivée de (3 sera et.
PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 4g
Si j'ai affaire à une combinaison (3, j'en forme la dérivée y : réciproquement la dérivée de (3 sera a.
On peut dire que les combinaisons du second groupe sont conjuguées avec celles du troisième, de telle façon que chaque combinaison d'un groupe soit là dérivée de sa conjuguée de l'autre groupe.
Donc
NaH N3=2(m|*-;)!,
N2 -(- N3 in
Ni ■+■ N2 -h N3 m H- n C'est la probabilité que A n'aura pas toujours la majorité;
et
Nj m m — n
Ni H- N2 -+- N3 m-*- n m -h n
est la probabilité qu'il la gardera tout le temps.
19. Problème des dés. — On jette n dés et on demande la probabilité d'amener un point total égal à K.
Supposons d'abord qu'il ne s'agisse que de deux dés ; avec chacun d'eux, six cas différents peuvent se présenter, et les deux réunis offrent trente-six combinaisons.
Une seule correspond au point K = 2
2 correspondent au point ... K — 3
La probabilité d'amener 2 est
Prenons- le problème plus général de w dés; le nombre total des cas possibles est 6" : en effet, soit a, a,..; <xn une des combinaisons, chacun des nombres a est susceptible de six valeurs, 1, 2, 3, 6; donc le nombre cherché est celui des combinaisons avec répétition de six lettres n à n, soit 6".
Le point total devant être un nombre donné à l'avance, K,
Considérons l'un des 6" cas possibles, et, à ce cas, faisons correspondre le monôme
Faisons la somme II de ces monômes en faisant varier a2» •••»: <Xn de 1 à 6.
a, -+- «j-h. . .-4- an= K.
qui peut s'écrire
= fj 4- ... -H t\ ) (/, -+- -+- . .> ■+- /«) ... {tH + 1\ 4- ... -+- /• ).
PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES- 5l
C'est un produit de n facteurs; faisons-y tx—tt — ...— tn=.t.
Le monôme deviendra
tal-Ha.+...+an —
et le polynôme II se réduira à
Soit N Je nombre des cas favorables; il y a N monômes égaux à tK, leur somme est N£K, et si l'on fait lNtK, pour toutes les valeurs.possibles de K
La probabilité demandée est yr--
on
La valeur dé N est facile à calculer.
Il est la puissance ne d'une somme de termes en progression géométrique
(£ — f)n et (1 — t)rn peuvent se développer par la formule du binôme; en faisant le produit des deux développements, j'aurai le coefficient de tK, c'est-à-dire N.
Reprenons le cas de deux dés. Il/devient (t — t1)2 (i — t)-2, et l'on a
(t — 2 f8-*-*1*, (i— £s)-2= 1 + It rh 3*2 +
Évaluons le coefficient de tw en faisant le produit de ces deux développements. D'abord, K ne peut dépasser 12; puis
nous considérerons deux cas, suivant que le point est de 2 à 7 ou de 8 à 12.
Si le point K est au plus égal à 7, K < 8, il n'y a à faire intervenir ni t6, ni tu dans le premier développement, et l'on n'aura à considérer que
Ainsi, pour les points 2, 3, (\, 7, N a les valeurs respectives 1,2,3, 6.
Si K est égal ou supérieur à 8, il ne faut pas envisager tVl, et l'on n'aura affaire qu'à
Le coefficient de ^K dans le premier monôme sera K — 1 . Le coefficient de ts dans le second monôme sera — 2; celui de i9, — 4; celui de tK, — 2 (K — 7). Ainsi
On trouverait des expressions plus compliquées pour
20. Problème de la loterie. — Dans une urne, il y a {j. houles numérotées de 1 à /Lt ; on en tire n; quelle est la probabilité pour qu'il y ail K boules désignées d'avance?
Les n boules tirées portent des numéros différents entre eux et compris entre 1 et fx.
Les cas possibles sont en même nombre que les arrangements de /j. lettres n à n, si l'on lient compte de l'ordre de sortie
(fx— "n)l
Quand il reste f/. — t-f- l boules, chacune d'elles a même chance de sortie que les autres ; nous supposerons toutes les sorties également probables.
Si l'on ne considère pas l'ordre, le nombre des cas possibles ne sera plus que celui des combinaisons de. [j. lettres n à n,
( fjL — n ) ! n !
Je ne considère plus comme distinctes les hypothèses qui ne diffèrent que par l'ordre de sortie, Toutes les combinaisons restent-elles également probables comme les arrangements? Oui, car chacune correspond à n ! arrangements.
Le nombre des cas favorables est celui des combinaisons où entrent les K boules désignées; il en reste, après ieur suppression,^ — K dans l'urne. Donc le nombre des cas favorables est le nombre des combinaisons de \x — K lettres n — K à n — K.
(fx-K)l ( jx — n ) ! ( /i — K ) !
La probabilité d'amener K numéros désignés à la loterie est donc
(j-ji — K)U!
jx! {n — K)!'
21. Problème de la poule. — Trois joueurs A, B, C jouent aux conditions suivantes. Deux d'entre eux A et B jouent ensemble; C ne joue pas. Le perdant sort el est remplacé par C. Après chaque partie, le perdant est remplacé. Le jeu prend fin quand un joueur gagne deux fois de suite.
On suppose naturellement que le jeu est un jeu de
hasard, et que la probabilité de gagner une partie est pour chaque joueur.
Par exemple, on peut avoir :
impartie AB; A gagne:
2e partie AC; si A gagne, il est le gagnant définitif; si C gagne, B rentre;
3e partie BC; si C gagne, il est le gagnant définitif; si B gagne, A rentre;
4e partie BA; et ainsi de suite.
Admettons que A ait gagné la première partie. On demande la probabilité pour chacun des joueurs d'être le gagnant définilif. Soient x, y, z ces probabilités pour A, B, C.
Deux hypothèses sont d'abord possibles. Si A gagne la deuxième partie, c'est le gagnant définitif, et les probabilités des trois joueurs deviendront i, o, o.
Si A perd, A prend la plaee de C, B se trouve dans les conditions de A,, et G rentre comme B; les probabilités deviennent z, x, y.
Appliquons le théorème des probabilités totales et le théorème des probabilités composées.
A peut devenir gagnant définilif par deux hypothèses qui s'excluent l'une l'autre :
i" En gagnant la partie considérée; 2° Kn la perdant.
La probabilité pour que A soit gagnant définitif est donc
B ne peul gagner que d'une manière : A perd la partie considérée, el B devient gagnant définitif ensuite.
De même pour C la probabilité sera
D'où
On remarquera que x -\-y + z = \ ; lorsqu'il y a plusieurs événements possibles et de telle façon que l'un d'eux et uq seulement doive nécessairement arriver, lar somme de leurs probabilités est i, mais ce n'est pas ici absolument le cas, car la partie pourrait se prolonger indéfiniment. Ici notre somme est i parce que la probabilité pour que la partie se prolonge indéfiniment est o.
On vient de supposer que A avait gagné la première partie. Plaçons-nous au commencement du jeu; avant la première partie, C est dehors.
Deux hypothèses : A gagnera ou B gagnera.
Si c'est A, B sortira, C entrera et les probabilités pour chacun deviendront
Si c'est B, elles deviendront
A peut devenir gagnant définitif : soit en gagnant la pre-
mière partie, soit en la perdant. La probabilité de la première hypothèse s'obtient par le produit de la probabilité pour A de gagner la première partie et de la probabilité pour
devenir gagnant définitif, soil^- x -. La probabilité de la seconde hypothèse est de même ~ x ~-
On arrive ainsi aux probabilités totales suivantes :
Pour A, - x — l — x - = — t; 2 7 2 7 14
Pour B, la même, ~;
Pour C, sans la calculer autrement, —.-
L'ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE
22. A un certain moment d'un jeu, un joueur a la probabilité p pour qu'il gagne; l'enjeu à empocher est a.
Par définition, l'espérance mathématique est pa. Bien entendu, si a est une perte, pa est négatif.
Si plusieurs hypothèses, de probabilités respectives Pu Pu .f • ï Pn> amènent des gains respectivement égaux à -a„ oc2, ... , a.n, la définition de l'espérance mathématique sera
Pi at -+- p2 a2 -t- . . .-+- '/?„ <xa.
Un jeu est équitable lorsque l'espérance mathématique est la même pour tous les joueurs.
Pour faciliter certaines questions, on convient parfois d'introduire des joueurs fictifs dont on évalue l'espérance mathématique.
Soient deux événements, A etB.
La probabilité de l'arrivée de A est. .... . px
— — B est p2
— — A ou de B est. . . . . . . p3
— — A et de B est /?4
On a
pi+ Pi—P% + Pu-
Si les deux événements étaient incompatibles, on aurait
dans cette formule />,, = o, c'est-à-dire le théorème de la probabilité totale; mais je suppose qu'il n'eu soit pas ainsi.
Le gain à réaliser est de ifr si A se produit; de ifr également si B se produit.
L'espérance mathématique totale, en tenant compte des deux événements, sera jo, -+- /?2-
Ainsi, que les événements soient compatibles ou non, l'espérance mathématique totale est la somme des espérances mathématiques partielles.
Si les deux événements se produisaient, le joueur toucherait 2ff.
Cas plus compliqué : Un certain nombre d'événements A,, A2, A7 sont possibles : la probabilité pour que A, se produise est p(, la probabilité pour que A, et A/, se produisent à la fois est pikt la probabilité pour què A,, A, et A* se produisent à la fois est /Vy*.
On promet à un joueur de lui payer ifr pour chaque événement qui se produit; s'il y en a n, il touchera n francs. Son espérance mathématique totale est la somme de celles que lui assure chacun des événements, c'est-à-dire 1pt.
On lui promet autant de francs qu'il y aura de combinaisons de deux événements pris dans la série. Si deux événements se produisent, il touche ifr; si trois événements A, B, C se produisent, il louche 3fl-, car il y a trois combinaisons AB, BC, CA ; si n événements se produisent, il
touche !LLH — il francs.
Quand deux événements A, et A a- se produisent, cette combinaison lui. assurant ifr, l'espérance mathématique est pile, et l'espérance mathématique totale est alors
l'espérance mathématique. 5g Si n événements se produisent, et qu'on donne au joueur
ifr par groupe de 3, il touchera alors Tll!l — il
et son espérance mathématique sera n ( n — i ) ( n — 2 )
Jouons maintenant avec les conventions suivantes : je paie ifr par événement qui se produit; le joueur me paie ifr par combinaison de deux événements; je lui paie ifr par combinaison de trois événements; il me paie ifr par combinaison de quatre événements, etc.
Événements 1, 2, 3, 4,
Gain du joueur. . . 1, — 1, 1, — 1, ...
Son gain est
quand il y a n événements réalisés.
Si n = o, a — o.
On a, en général,
t ff=,w4-^zl]-w(w-'H/»-3)+-j>=(l l),> 1.2 1.2.3
Donc, pour n > o, a — 1 .
Ainsi, quand aucun événement ne se produit, le joueur ne touche rien; quand il s'en produit n, il touche toujours
Son espérance mathématique est
P = 2 fi— 1 Pik -+- Zptjk — • ■
6o CHAPITRE III.
D'où, une généralisation du théorème des probabilités totales : la probabilité pour que l'un, au moins, des événements se produise est
ijk
23. Problème de la rencontre. ~- Dans une urne, il y a ^ boules numérotées de i à p.; je les tire les unes après les autres, jusqu'à ce que l'urne soit vide. Il y a rencontre si, au ie tirage, je tire la boule numérotée i.
Cherchons la probabilité pour qu'il y ail au moins une rencontre.
D'abord la probabilité pour qu'il y ait rencontre au rang
i est -. En effet, il y a en tout autant d'hypothèses possibles
que de permutation de \i lettres, soiljjt.! Combien sont favorables? Celles où la ie boule est au rang i; je puis y permuter les ti—ï autres, donc (fi-— i)! cas favorables. La probabilité est —
Cherchons la probabilité pour qu'il y ait rencontre au i* et au ke tirage. Deux boules ont un rang déterminé : si nous permutons les /jl — 2 autres, nous verrons que le nombre des cas favorables est (jx— a)!;.la probabilité est
Put —
De même
Ptjk -
Toutes les pi sont égales; comme il peut' y avoir ren-
L ESPERANCE MATHEMATIQUE
contres
Pour calculer 1pik, remarquons que le nombre possible
iii v- ( m — - i )
des doubles rencontres est ■ — ■
De même
~; Pw-Zpw- •
Si je promets à un joueur autant de francs que de rencontres simples, son espérance mathématique sera i; elle
sera i> s'il reçoit i** par combinaison de 2 rencontres; ^, s'il reçoit ifr par combinaison de 3 rencontres, etc.
Quelle est la probabilité pour qu'il y ait une rencontre au moins? C'est ce que nous avons appelé tout à l'heure P.
p — L L 1 -4- JL
le dernier terme correspond au cas de p rencontres simultanées. Les termes de P sont les \x premiers termes du développement de i — e-1, et cette série converge avec une rapidité extrême. L'erreur est d'autant plus petite que est
plus grand, et, pour y.—ioy elle est inférieure à
c'est-à-dire insignifiante.
La probabilité cherchée est 1 — e~K
Valeurs probables. — Soit px la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à a\.
Q>ï CHAPITRE III.
Soit /?2 la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à a2-
Soit pn la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à an.
La valeur probable de a est, par définition,
a1pl-h a2p2-+-. . .-h anpn;
c'est l'espérance mathématique d'un joueur à qui l'on promettrait une somme égale à a.
La valeur probable de a2 n'est nullement égale au carré de la valeur probable de a. Par définition, la valeur probable de a2 est 2a? p,-, tandis que le carré de la valeur probable de a est (Iciipi)*.
Soient b la valeur probable de a2, c celle de a.
On a
b — c1 — 2 Pi I af pi — ( 2 a,- Pi ) 2 ,
car 2 pi = i.
Nous transformerons le second membre à l'aide de l'identité
i x*2 X'2 - (i xx' y= 2 (xv - yx' y-,
où les Y sont des X changés d'indice.
Nous poserons
X = v^, X'=ais/pi,
d'où
XX'=aiPi
et
2X*=2ph ÏX'*=Zafpi, 2XX' = 2atpt. '
l'espérance mathématique. 63 Par conséquent,
b — c2 = ^{\Jpiak\fiTk— s/pkais/pi)*', b — c-— IpiPkiak—ttif.
p{ei pk sont essentiellement positifs; donc b — c2 est supérieur à zéro et la valeur probable du carré de a est toujours plus grande que le carré de la valeur probable de a, sauf quand ak — aiy c'est-à-dire quand a ne peut prendre qu'une seule valeur.
Il est clair que la valeur probable de la somme de deux fonctions est la somme des valeurs probables de ces deux fonctions. En revanche, la valeur probable du produit de deux fonctions n'est pas égale en général au produit de leurs valeurs probables. Ce que nous venons de dire au sujet de la valeur probable du carré le prouve suffisamment.
Soient cependant / et <p deux fonctions indépendantes l'une de l'autre.
Soient p£ la probabilité que f = //, et qk~ celle que cp — cp*.
Les deux fonctions étant indépendantes, la probabilité pour que / = // en même temps que cp = <ok sera p£ qk, en vertu du théorème des probabilités composées. La valeur probable du produit/ cp sera alors
c'est-à-dire au puoduit de la valeur probable de / par celle de 9.
25. Oh promet à un joueur (toujours en tirant dans une urne contenant jut. boules et sans remettre les boules dans l'urne) de lui donner ifr à chaque maximum de la liste
que l'on obtient, en écrivant les numéros sortis dans leur ordre de tirage. Quelle est l'espérance mathématique?
Supposons qu'il y ait maximum au ie tirage; on a tiré trois boules a, b, c, la (ï — i)e, la 7e et la (i+ 0e et, puisqu'il y a maximum, a < b > c.
Il y a p.l cas possibles. Sans toucher aux autres boules, je permute entre elles a, b, c, six combinaisons sont possibles, dont deux sont favorables, a, b, c et c, b, a.
Dans ce groupe, la probabilité pour un maximum est
donc ^. Or, il y a de ces groupes, correspondant au i'e tirage, mais, pour ce tirage, l'espérance mathématique
L'espérance mathématique totale sera la somme des espérances mathématiques partielles; d'autre part, sauf conventions spéciales que je ne suppose pas, ni le premier, ni le dernier tirage ne peuvent donner lieu à paiement.
L'espérance mathématique totale est donc — ^ — .
26. Soient n joueurs qui ont chacun un dé et mettent chacun ifr comme enjeu : celui qui amènera le point le plus fort ramassera lesn francs; et si plusieurs joueurs obtiennent le même point, plus fort que celui de tous les autres, ils se partageront l'enjeu.
Le premier joueur, A, amène le point K : quelle est, à ce moment, son espérance mathématique?
La probabilité pour qu'un autre joueur déterminé amène
le point K est-^; pour qu'il amène un point plus petit que K,
L ESPERANCE MATHEMATIQUE. 65
Quelle est la probabilité pour que A partage l'enjeu avec i — i joueurs déterminés? Ces i — i joueurs doivent amener le point K, les n — i autres un point inférieur à K. La probabilité cherchée est donc une probabilité composée, le
. .. , /1V"-1 /K — i \ produit de ^ par
6J r" V t> Ainsi la probabilité pour que A partage avec i — i joueurs
déterminés est — — ^ — -• On peutformerautantdegroupes
de t — i joueurs qu'il y a de combinaisons de n — i lettres
I— I a l— I, SOll y-. —t- r-r-
Chacune de. ces- combinaisons donne à A la probabilité ci-dessus, et le gain correspondant est j; l'espérance mathématique de A est
(a — Ql (K — i)"-f n ni (K — (t — i)l (n — i)ï 6*-1 T — il(n — i)\ 6*-1
Il faut faire la somme de ces espérances mathématiques depuis i— i jusqu'à i=n, ce dernier cas étant celui où. l'enjeu est partagé également par tous. Or
V1 n ■ 2ài\(n — i
est le développement du binôme
, , . . (K— ïY
a part le terme qui correspond a i — o, soit — ^/t 1
L'espérance mathématique est donc
bb CHAPITRE III.
27. Paradoxe de Saint-Pétersbourg. — La ihéorie de l'espérance mathématique a donné lieu à ce paradoxe célèbre. Paul lance une pièce de monnaie; si elle retombe pile, il paie ifr à Pierre et la partie est terminée; si elle retombe face, on recommence. Si au deuxième coup on amène pile, Pierre reçoit afr et la partie est terminée; si l'on amène face, on recommence. Au troisième coup, Pierre recevra 4r'', ou bien la partie continuera, et ainsi de suite. Si la pièce présente l'ace n fois de suite et que le i^n -+- i)c coup soit pile, Paul paie francs.
Quelle somme doit donner Pierre à Paul au commencement de la partie pour que le jeu soit équitable? En d'autres termes, quelle est l'espérance mathématique de Pierre ?
La probabilité d'amener pile au premier coup est ~; l'espérance correspondante est--
La probabilité d'amener face au premier coup, puis pile au second, événements indépendants, est une probabilité
composée, y- L'espérance mathématique est ^ x 2 =r 1.
Au troisième coup, cette espérance est ^ x 4 — ~
Au coup, — — x 2" — -•
Tons les termes de la série sont égaux à ^; l'espérance
mathématique de Pierre est infinie : il n'achèterait jamais trop cher le droit déjouer.
On a voulu expliquer ce paradoxe de plusieurs manières. Paul n'est pas infiniment ricbe, a-t-on dit : sa fortune est comprise, par exemple, entre i? et 2''+1; si l'on amène pile au (/9-+-i)e coup, il devra 2* francs et pourra payer; mais, si
l'espérance mathématique. 67
l'on amène pile au coup suivant, il devra ip+l francs, et sera insolvable. Pierre ne peut donc toucher que ip francs; son espérance mathématique devient
La série devient
termes sont égaux à le reste a pour somme ^-j l'espérance mathématique est
Si la fortune de Paul est, par exemple, d'un milliard, on pourra faire p = 3o, et l'espérance mathématique de Pierre
sera — = 16. On voit qu'elle se réduit considérablement.
On a dit aussi que le plaisir de gagner 1 ooofr est plus grand pour celui qui n'a rien que pour le millionnaire; que le plaisir de doubler sa fortune est indépendant de cette fortune.
Le plaisir, quand on possède une fortune xy de gagner une somme h, sera mesuré par
. ce h log— -
On a remplacé l'espérance mathématique par l'espérance morale.
pu étant la probabilité de réaliser un gain h, l'espérance
morale sera
