Résolvons l'équation de récurrence plus générale

AK.©-(72--t-K>H-ÂK-iCp(«-i-K !)-+-... + Ai9(«h-i)-+- AQo(n) = o,

où les A sont des coefficienis constants. C'est une équation aux différences finies, linéaire et à coefficients constants, dont l'intégration rappelle celle des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Supposons qu'on ait trouvé K solutions 9, (»), 9., (n),..., 9k (n), de telle sorte que

Nous aurons encore une solution en posant

9(n) = «! 9, (rc) -h a2 9,(/i) 4-. . .-+- aK ©K('0-

En effet, multiplions le 1 précédent par a,, et faisons la somme des termes obtenus en faisant varier i.

Si 9,, 92, . . . , 9k sont linéairement indépendants, on aura ainsi la solution générale. Supposons, en effet, que ce ne soit pas la solution générale; alors

9(71) = at9, 4- a292-(-. . . -1- aK9K+ 4;-

Je vais choisir a,, a2-, aK de façon à satisfaire au sys-

tème suivant

cp(o) = atcp,(o) -+- a2<P2(o) +• • •+ «k?k(o),

<p(i) =«,(0,(1) 4-a2cp2(ij . .+ «k<Pk(0>

<p(K — ï)=tx1ol(K — i) + a2cp2(K — i) + . . . + aK<pR(K — i).

Ces K équations linéaires déterminent a,, a,, aK, à condition que leur déterminant soit différent de .,zéro, ce qui aura lieu quand cp2, cpK seront linéairement indépendants. Dans ce cas, on aura

4,(o)=4,(,) = ^(2)=...= 4,(K-!) = o, et par suite la relation suivante

AK^ («+K )+AK-i 4» (w -hK— i )-+-.. .+A, ^ (»-+- 1 )+A0^ («) = o.

Je fais « = o, tous les termes s'annulent sauf AK^ (K); donc 41 (K ) est nul.

Si je fais n = î, ^ (K + i) est nul, ....

Donc d» (n) est identiquement nul, et <p(/i) se réduit à a,a>,4-a2cp2+...-i-aK9K- Ainsi, il suffit de connaître K intégrales particulières linéairement indépendantes pour con^ naître l'intégrale générale.

Pour trouver K intégrales linéairement indépendantes, je pose cp (/i) = (3w. Alors

AK (3"+k + AK-, 0"+"-' -h . . A0 (3»= o

ou

Ak^ + Ak.,^-' A0=o,

d'où K valeurs particulières de (3, et par suite K intégrales particulières.

Il se présente une exception, quand l'équation en (3 offre

l'espkrance mathématique. 71

des racines multiples, par exemple, une racine double, (3, = j32 ; en faisant varier les coefficients d'une manière continue, il peut arriver, en effet, que deux racines deviennent égales. On n'a plus alors K solutions.

S" et (3'j,1 sont des solutions; ^ ^est une combinaison

linéaire, et, par conséquent, une solution. Quand S! tend vers (32, par raison de continuité, on a encore à la limite une solution. Cette limite s'obtient en différentiant, par rapport

à S, les deux termes du rapport, ce qui donne — '-^ — ;

n(3"1 ou, si l'on veut, «3" est donc une nouvelle solution. Avec une racine triple, on aurait en outre n2 (3*, etc.

30. Appliquons cette règle au problème qui nous occupe, c'est-à-dire à. l'équation (1) du paragraphe u28. Faisons 9 (n) == (3n; il viendra

S" — ^3"-' + ii— p)fi"+l, .

ou

Cette équation du second degré a une racine évidente, (3 = 1} l'autre est—— : c'est cette valeur que nous appellerons désormais 3. Les deux solutions S" et 1 donnent pour la valeur générale de 9 (n)

o(n) — àfin -H- b.

Les conditions limites donnent les deux constantes arbitraires

d'où

i-S< x-P' et

Qn Qs

«p(n)=e JL.

Cette expression devient illusoire, si l'on suppose (3 = i. Quand 3 = 1,/» = -; le jeu serait équitable. On cherche la vraie valeur de <p(«) par ia règle de l'Hôpital

Trois cas sont à considérer :

i° (3 > i . Le jeu est avantageux à A, p > i — ,

2° 3 = i . Le jeu est équitable, p — i — />,

3° 3 < i . Le jeu est avantageux à B, p < i — p,

La probabilité pour que B se ruine est— — Pouravoir la probabilité pour que A se ruine, on permute p et i — p; S se change en ^ et n en m. On trouve donc

l'espérance mathématique.

c'est-à-dire