La somme des deux probabilités

est égale à l'unité, ce qui n'était pas évident a priori. En effet, la probabilité pour que la partie se prolonge indéfiniment pouvait avoir une valeur finie.

Supposons s très grand. Quand (3 > 1, (3* est très grand et y (n) a le signe de (3*; sa limite est 1. Quand [3= 1, sa limite est encore 1. Quand (3 < 1, (3* tend vers o à mesure que 5 augmente, et ia limite de 9 (n) est (3".

Conclusion. — Si donc s est très grand et n fini, on a la certitude d'être ruiné dans un jeu équitable ou avantageux à l'adversaire. Mais si le jeu est avantageux au joueur, la probabilité d'être ruiné devient d'autant plus petite que sa fortune est plus grande.

Un joueur de profession, un banquier, joue avec tout le monde, c'est-à-dire avec un adversaire infiniment riche, mais le jeu lui réserve des avantages. Au contraire, le ponte qui jouera indéfiniment est sûr d'être ruiné.