CHAPITRE III. — L'ESPERANCE MATHÉMATIQUE
n est la fortune du banquier, en prenant pour unité l'enjeu de chaque partie; il y a un maximum pour cet enjeu, d'où pour n un certain maximum; soit n — 1000.
La probabilité pour que la banque saute est
ou, à peu près, e~50, quelque chose d'extrêmement faible.
Nous arrêterons ici l'étude des cas qui se ramènent à de simples problèmes d'analyse combinatoire.
33. Nous abordons, maintenant, les théories qui se rapportent à la formule de Stirling, au théorème de Bernoulli et aux probabilités des causes déduites d'épreuves répétées.
Supposons que les deux événements A et B, de probabilités respectives p et,*/, soient contradictoires. A chaque épreuve, l'un d'eux se produit certainement, et ils ne peuvent se produire tous deux; alors
la probabilité totale est égale à la certitude.
On répète m fois l'épreuve : à chaque épreuve l'un des deux événements se produit. Ainsi, avec un dé, l'événement A peut être L'arrivée du point 6 et l'événement B celle
des autres points; p — -, elq = -^-
A se produira un certain nombre de fois et B aussi. On demande la probabilité pour que A se produise a fois, et B m — a fois.
On suppose que la probabilité reste la même à chaque épreuve. Avec le dé, la probabilité est toujours ^ pour amener le point 6. Au contraire, avec un jeu de 32 cartes,
la probabilité de tirer un roi -est ^ à la première épreuve;
elle est ou à la deuxième, suivant qu'on n'a pas amené ou qu'on a amené un roi à la première.
34. Cherchons d'abord la probabilité pour que les événements se succèdent dans un ordre déterminé
AAJBAARBAB:
les probabilités de chacun de ces événements seront ppqppqqpq,
et la probabilité composée, la probabilité pour que tous ces événements se produisent à la fois, est
En général, la probabilité pour qu'il se produise dans un ordre déterminé a événements A el m — a événements B
est
pO.pm-0.
Elle est indépendante de l'ordre considéré.
35. Si l'on veut que les rn épreuves donnent, dans un ordre quelconque, a événements A et m — a événements B, en vertu du principe de la probabilité totale, la probabilitécherchée sera la somme d'autant de termes égaux à pa.gm-a. qU«ii y a d'unités dans le nombre des permutations avec répétition de a lettres A et de m — a lettres B ; ce nombre est
LE THEOREME DE BERNOt'LLI. 77
La probabilité pour que les événements se succèdent dans un ordre quelconque est
7 P%cl'
c'est l'un des ternies du développement de (p + q)m.
Si je fais hvsomme de tous les termes que je puis obtenir en faisant a égal à o, à i, à m, j'obtiens
2 «a— (p.-hq)»l=j.
La somme des probabilités de tous les cas possibles doit être égale à l'unité, puisqu'il est certain que l'un de ces cas possibles se produira, et un seul.
36. Quelle est la plus grande de toutes ces probabilités? Je vais calculer le rapport d'un terme au précédent;
De même en changeant a en a — i
Pour que «a soit la plus grande de toutes les probabilités, il faut que
Donc
< 1 et — — > 1,
c'est-à-dire
^=lfZ<I et " ~a + T ^>i.
a -i- 1 q et q
Ceci peut s'écrire
(»(-«)/;<(a + i)ï et ( m — y. -4- 1 )p > aq, mp — ap < aq H- q et mp — ap + p > aq.
Comme
ap -+- aq — a(p > 4- q) = y, mp <C c. -4- q et mp > a — />.
De telle façon que nous arrivons aux inégalités m/? — gr.
D'où une limite supérieure et une limite infér ieure pour a. La différence de ces deux limites est p + q — 1 ; ainsi a est compris entre deux nombres, généralement fractionnaires, qui diffèrent d'une unité, et, comme a est entier, ces deux limites déterminent a.
Il y a exception quand mp 4- p est entier; alors mp — q l'est aussi. On pourrait hésiter pour a ; deux termes consécutifs dans' le développement de (p -+- q)'" sont égaux entre eux.
Si m est très grand, le rapport — est compris entre p -h —
et p : donc — sera voisin de p.
C'est une forme d'établissement du théorème de Bernoulli.
Si je choisis a de façon que ua soit le plus grand pos sible, le rapport du nombre des événements A au nombre des événements B sera à peu près celui des probabilités p et q.
37. Quelle est la probabilité pour que a s'éloigne d'une quantité donnée h de mpl Soit
a — mp - h.
J'appelle h Y écart et je vais chercher la valeur probable de la valeur absolue de cet écart, ainsi que la valeur probable de son carré.
Occupons-nous de la valeur probable de h, de l'a valeur probable du module | h ] de h, de la valeur probable de h\
Je vais considérer la valeur probable d'une quantité quelconque M; c'est 2M«a-
y M ua = S" M - ml ,, p*q™- « ;
le second membre est un polynôme entier, homogène et de degré m par rapport à p et q. que je désigne par F (p, q). Cherchons à en déduire la valeur probable de Ma; c'est
2 Ma , ml rP*qm~*.
Nous avons passé d'une expression à l'autre en multipliant par cf. les termes successifs; en différenliant pa-qm~CL par rapport à p, nous aurions eu ap*-1 q'"-a; la valeur probable de Ma est donc
pdF dp
Les nombres p et q ne sont pas indépendants, puisque leur somme est i. On a fait la différentiation comme s'ils l'étaient, on a différentié par rapport à p comme si q était constant. De plus, M peut dépendre de p : h dépend de p. J'éviterai cette confusion de la maniè're suivante : A la place de p et q, j'introduis deux variables auxiliaires, x et y, et je considère la fonction
8o CHAPITRE IV.
Si M dépend de p, je n'y remplace pas p et q par x et y, la valeur probable de M est bien alors F {p, q), et
y M a . * — — r xxy'n-x al {m — a ) ! J
est bien x <^--
dx
On y remplacera x et y par p et q après la différentiation.
