Appliquons ce qui précède au problème qui nous occupe

Soit d'abord M = i ;

F(x, y) =y — j — — -x*ym-*= (x -f- y)m;

si je fais ensuite il vient

et, en effet, la valeur probable de i est i.

Pour avoir la valeur probable de a, je différentie F (x, y) par rapport à x, et je multiplie par x, ce qui me donne mx(x -h r)™-1 ; puis, je fais x — p, y — q. La valeur probable de a est mp.

Pour avoir la valeur probable de a2, je différentie le terme mx(x par rapport à .a?, puis je multiplie par x;

ce qui me donne d'abord

puis

mx(x -+- y)m~l ■+- m(m — i)x2(x + j)m-!. En faisant x —p et y = q, j'obtiens, pour la valeur pro-

LE THEOREME DE BERNOULL1. . 8l

bable de a2,

mp -+- m-p- — mp\

Cherchons, maintenant, les valeurs probables de A et A2. La valeur probable de A sera la valeur probable de oc, moins la valeur probable de mp, c'est-à-dire

mp — mp — o .

La valeur probable de l'écart est donc nulle. La valeur de A2 est

A2 — : a2 — 2 mp a -t- m2/?2 ;

sa valeur probable est donc

( mp + m'-p"- — mp- ) — 2 mp . mp 4- m*p-,

mp(i-p),

c'est-à-dire mpq.

La valeur probable du carré de A est mpq.

On vérifiera en passant qu'elle est effectivement plus grande que le carré de la valeur probable de A, quhest nulle.

39. Passons à la valeur probable du module de A; cherchons d'abord quelle serait l'espérance mathématique d'un joueur à qui on promettrait une somme 1 si l'écart était positif, et o s'il était négatif.

2«a doit se borner aux termes dont l'écart est positif. Soit le dernier terme de 2«a pour lequel l'écart est positif; on a

fi>mp et (3 — 1 < mp, et l'espérance mathématique de ce joueur serait

j>-+T*"y + ...+ p1(M p)1fPf

St. chapitre iv.

c'est-à-dire F (p, q) en posant

Si l'on supposait, maintenant, qu'on ait promis à ce joueur

une somme a, son espérance mathématique sera x —■> en

faisant x = p, y — q après la différentiation. Enfin, la valeur probable d'une fonction qui est égale à h pour^>o et à o pour h < o sera donc l'espérance mathématique de ce joueur à qui l'on promet a — mp quand a > mp; c'est donc

dF Xdx—mPF'

F est un polynôme homogène et de degré m en x et y; donc

dF dF mF = x— — h y— —

dx J dy

L'espérance mathématique ci-dessus devient

dY dF dF

Xdx-pXd^-p^W

dF dF

xqdx-ypdï

en faisant x —p, y — q, après différentiation. On a d'abord

(dF dF\ Pq\dx---djp

d'autre part

~=mxm-1+ m(m—i)xm-- V-K..H- "l ' , Sa^-1 y"*-P, rfF

IL entre un terme de plus dans la somme qui représente

dF . dF dF

— ; ce dernier terme représente — — ^> et il est égal a

$\{m-$)\Xy V et, après qu'on y a fait x — p, y = q, il devient

Pour l'espérance mathématique de notre joueur, nous avons donc

On y reconnaît le produit par fiq, du terme «p, le dernier qui corresponde à un écart positif.

4-0. On promet à un joueur une somme égale à la valeur absolue de l'écart : soit E son espérance mathématique, en admettant qu'il ne doive être payé que si l'écart est positif, E' en admettant qu'il ne doive être payé que s'il est négatif.

La valeur probable de h est E — E'.

Comme la valeur probable de h est nulle

et la valeur probable de | h | est 2E.

41. Ainsi la valeur probable de l'écart h, considéré en valeur relative, est zéro; la valeur probable de h- est mpq; celle de | h | est 2E ou

(3 correspond au dernier terme pour lequel l'écart est positif, et il diffère peu de mp .

A cette expression on peut substituer la valeur approchée

Ce terme est beaucoup plus grand que tous les autres, mais il est très petit d'une manière absolue.

APPLICATION DE IA FORMULE DE STIRLING

42. Je vais montrer comment on peut connaître une valeur approchée de ua, du terme maximum, de la valeur probable de | h | , etc.

Le calcul de ces valeurs approchées se rattache à la formule.de Stirling;

c'est-à-dire la fonction eulérienne; cette intégrale conserve un sens quand n est positif, mais non entier. Si l'on pose

le rapport du premier membre au second tend vers l'imité quand n augmente indéfiniment.

Je ne donnerai pas la démonstration générale, mais seulement celle qui concerne n entier.

La formule de Stirling sert à calculer la factorielle d'un nombre entier

On a

c'est une formule asymptotique. L'erreur absolue que l'on commet en prenant le second membre comme valeur du

premier augmente indéfiniment avec n, mais l'erreur relative tend vers zéro.

Il en résulte que l'erreur absolue sur le logarithme de ni tend vers zéro.

Je puis d'abord écrire

ni — nne-"\/nY(n),

et je vais démontrer que F (n) tend vers une limite finie et déterminée C quand n augmente indéfiniment; de telle sorte que l'on aura alors

n \ — Cnne-n\/n.