Considérons le produit
Ce produit infini est convergent, ou, ce qui revient au même, la série, dont le terme général est
est convergente.
Nous avons
F(n + i) (« + i)! nne-"\fn F(n) ~ «! (n ^ijiH-ie-jB+D^Tî'
F(« + i) n -ni B / n ( n N*"*"*
F(«) eV ^TT-eV^TTj '
Le second membre se transforme, à l'aide du dévelop-
log
APPLICATION DE LA FORMULE DE STIRLING
pement de Jog(i -h a) en série, en
ou en
V 2 ) \ 11 in2 3 n3 /
c'est-à-dire en
Si j'appelle le premier terme de cette dernière série.
et
im-
lim n- un = — •
En vertu d'une régie de Gauss, celte série est convergente.
kk. Reste à calculer la valeur de C.
Rappelons la formule de Wallis
2 1 3 3 5 m — 1 2 « -t- 1 ' on en déduit, pour n plus grand que toute quantité donnée, Fît 2 . 4 • • • 2 n
Au numérateur figurent les n premiers nombres pairs, au dénominateur les n premiers nombres impairs; je mul-
tiplie haut et bas par 2.4... 2/1; il vient
.Ï3.4- . an)4 a2"^!)2
(2/i)!p« + i ( 2 /i ) ! sj 2 /* -t- 1
Cette fraction a pour limite qu-31^ n augmente in-
définiment. Si nous y remplaçons les factorielles par leur valeur approchée pour a; très grand-, elle devient
22" n**er** On
et, quand n grandit indéfiniment, elle se réduit à ^-
Cette limite étant la même que la précédente, y/"'
C = \JlTt.
45. Valeur asymptotique de </a. — Quand deux événements contraires, A et B, ont pour probabilité respective p et q, de telle sorte que p g ~ 1 , nous avons vu que, sur m événements, la probabilité pour qu'il s'en produise a égaux à A et m — oc égaux à B est
™! * , « u* = -~r, vrP 9 •
Kl ( 771 — OC ) !
Calculons une valeur approchée de ««, en supposant m très grand, et de plus
mp
APPLICATION DE LA FORMULE DE STIHUNG. »9 OU
À \fm
mp
A \/m est très grand quand m est très grand, mais nous supposerons >. fini et. par conséquent, l'erreur relative très petite, quand on prend mp pour valeur de a, c'esl-à-dire
— voisin de i,
mp
mP psfm On a comme conséquence
m — a = mg — l\Jm,
.puisque
Je remplace dans «a chaque factorielle par sa valeur calculée à l'aide de la formule de Stirling,
mme-7fL \/nxm paqm~a aae-ay/27z:a(7» — a)«-ac-f«-a) ^J2r.{m — oc)'
mmpa-qm-'x . I m Ua~ aa(m — a)7"-* y 2irà;(m,— a)'
En réunissant les termes qui ont pour exposant <x et ceux qui ont pour exposant m — «,
% ) \ni — a J y 2izct(m — <x )
ac(m-oc) {mp + h\Jm)(mq — \\Jm)
— tend vers l'unité ainsi que — — — ; le radical qui entre mp mq
dans «a a pour limite
ou
■mmprnq sjinmpq Nous pouvons écrire
log«a = log ' = — a log— (m — a) log m
sJi-Kmpq mP mq
logaa— log ' - — {mp -+- \ \[m) log (t H -paA
sjiizmpq \ pymj
- (mq — Is/m) \og( i ~V
\ 9 Vm J
Pour m très grand, nous pouvons développer les logarithmes de i h ^— et de i ^= par la formule qui
donne le développement de log(i -i-x). Ainsi,
(mp -h A <fin) \og(i H
devient
(mjo + \\[m) ( — ^= \ 1 1 — . . .V
\p\//n zp-m Zpim\m J
Je cherche, en ce moment, une valeur asymptotique de //«, c'est-à-dire une valeur telle que le rapport de ua à cette valeur tende vers i quand m augmente indéfiniment; je pourrai donc, dans le produit précédent, négliger tous les termes qui tendent vers o, ceux qui contiennent m ou \fm au dénominateur.
Il restera
. i — À2 X* . j— V- A \J m 1 j OU A s/m -\
APPLICATION DE LA FORMULE DE STIRLING
J'en déduirai la valeur du produit
(mq — l \/m) ïogf 1 \=
\ q Vm
en changeant dans le résultat précédent X en — 1 et p en q ; et la somme de ces produits sera, en définitive,
ou
Ainsi
En repassant des logarithmes aux nombres, on aura comme valeur approchée de ua
e -pi \i 2 71 mpq
Lorsque m croît indéfiniment, le rapport de ua à l'expression précédente tend vers l'unité.
k6. J'observe d'abord ce qui se passe pour le terme maximum.
Le maximum de aa s'obtient en donnant à a une valeur qui diffère très peu de mp; alors 1 est nul, et la valeur du
terme maximum est 1
\/ 2 7ï mpq
Cette expression diminue avec m. Il ne faut pas croire que, si m augmente indéfiniment, la probabilité attendue s'approche de la certitude; au contraire, elle tend vers zéro.
C'est là le théorème de Bernoulli, que nous préciserons tout à l'heure.
