Nous sommes donc ramenés à considérer, en posant h
l'expression suivante
Elle représente la probabilité pour qu'une quantité x soit comprise entre a?. et œ -h dx; pour qu'elle soit comprise entre x0 et xx, la probabilité deviendra
hdx e~h*x\
pour qu'elle varie de — oo à -h <x>,
hdxe-h'-x%
En posant hx=y, cette dernière intégrale se transforme en
• - r^dye-y
C'est une intégrale connue, dont la valeur est i.
49. Arrêtons-nous surquelques conséquences dece calcul. La probabilité pour que X soit comprise entre — oo et H- oo est ij ce qui paraît une tautologie. Cette conclusion
n'était pas si sûre : la formule dont nous nous sommes servis, était approchée, et vraie seulement si X est petit par rapport à sfm.
.Soit d'abord
a - mp -h 1 sj m ;
la probabilité pour que X soit compris entre 10 et Àj tendra, d'après ce qui précède, vers
sjntpq
quand m croîtra indéfiniment. D'autre pari, quand \ et \ s'éloignent indéfiniment, l'intégrale tend vers l'unité. Posons maintenant
a > mp{ \ — e),
et
a < mp( i -+-£).
Soit F (s, m) la probabilité pour qu'il en soit ainsi. Je dis que je puis prendre m assez grand, s étant donné, pour que la différence
soit plus petite qu'une quantité donnée rj. Choisissons d'abord un nombre 1 assez grand pour que la différence
soit plus petite que ^- Cela est possible puisque l'intégrale
tend vers i , quand 1 augmente indéfiniment. Une fois X choisi, je prendrai m assez grand,
APPLICATION DE LA FORMULE DE STIRLING
i° Pour que
d'où
F(e, m) > F 20 Pour que la différence
À <. sp <J~m,
\p\/m ) J i spxïzpq
cela èst possible, car, pour \ donné, la limite de l'a probabilité
(pV™ )
est représentée par l'intégrale J~
pour m =
On aura alors
En résumé, la probabilité pour que a soit compris entre mp ( j — e) et mp ( 1 4- s), quelque petit que soit e, tend vers U unité quand m augmente indéfiniment.
50. On peut se demander quelle est la valeur probable de xn ; ce sera par définition
hxndx
r hxn a
Si n est impair, cette intégrale est nulle. Si n est pair, elle vaut
t r hxn
Jo v
hxn dx
Nous avons cherché la valeur probable de l'écart en valeur absolue; cherchons la valeur probable de la valeur absolue de xn, \xn\. C'est
h\xn \dx
La fonction sous le signe J est paire; cette intégrale vaut
donc
" hxn dx
t Ç hxn d J0 S/K
51. Ainsi, dans tous les cas, nous sommes ramenés à cette intégrale, qui se ramène elle-même aux intégrales eulériennes.
Posons
Wx^z^y,
d'où
h dx — ~ v 2 dy.
L'intégrale ci-dessus devient
Ire
i r"L dyy y J„ 2 h" v/tt
C'est l'intégrale eulérienne
APPLICATION DE LA FORMULE DE STIRLING. g-
Si n est pair et égal à 2 jx,
et, comme
la valeur probable de | x'1 | est
j i.3...(2fx-i)
Si h est impair et égal à 2fx + i, la valeur probable de \xn | est
ou
Faisons « = o; la valeur probable de 1 1 1 est égale à 1. Faisons n — 2 ; la valeur probable de \ x- \ est
Nous avons cherché la valeur probable de (ct — mpY et nous avons trouvé mpq. Ici, nous cherchons la valeur probable de a2, c'est-à-dire du carré de
a. — mp V m
ce doit être pq.
Cela se vérifie sans peine, puisque
A2 — — — ipq
La valeur probable de est
Nous avons clierché la valeur probable de \oc — mp\; c'est le produit par -2/npq du terme maximum de 2wa» impfju^ où a diffère très peu de mp.
Pour calculer ce terme maximum, il suffit de faire \ — o; on trouve
Donc, la valeur probable de | a — mp | est 2 mpq
y 2 TZmpq
c'est-à-dire
On en déduira la valeur probable de |^.| en divisant par \/7n; on trouve
52. Nous avons cherché la valeur asymptotique, pour m très grand, du terme
ml
en supposant a = /«yo -+- ).
Celle valeur asymplolique de </a esl
APPLICATION DE LA FORMULE DE STIRLING. 99
Cherchons, maintenant, la valeur asymptotique de ua pour oc = me.
On trouve, en comparant les deux expressions de oc,
On pourrait donc être tenté de croire que la valeur asymptotique est
e *Pt s/ntmpq '
mais cette expression est inexacte.
La valeur exacte de u„ est
txl{rn — a)\
Si m et oc sont très grands, l'expression asymptotique de ua est
aPe-* \/27Ta (m — oc)"1'* £-<»*-«) y/27r(m — a)
Le rapport de ces deux expressions de ua tend vers l'unité, toutes les fois que m et m — oc augmentent indéfiniment, et qu'on a
e tendant vers une valeur finie.
Je vais simplifier l'expression asymptotique de ua
m"1 r — oc)"1-* y s
oca(m — a)'"-a y 2 7ra(/?i — a) Soit a — s m; je pose
m — oc — sr m,
d'où
ÎOO CHAPITRE V.
L'expression asymptolique devient
(me)mE(m s et, comme mm — m'nz x mm£'
I / î n'ntar
Soit alors
/ mp\"lZ ( mq\mz' l~ \ mi ) \mz' ) y 2
\f2nmie'
53. Je dis que A est toujours plus petit que 1. £, e' restant constants, je fais varier p et q, en les laissant liés par la relation
Quel est le maximum de A?
Ce maximum a lieu quand pzqz' est maximum, c'est-à-dire quand p et q sont proportionnels à leurs exposants :
£ £' s -+- e' Ainsi le maximum sera atteint quand p — z, p — t',
et alors
Le raisonnement suivant nous fera d'ailleurs mieux connaître les variations de A.
