Je vais supposer p et q constants et faire varier e eu

APPLICATION" DE LA FORMULE DE ST1RLIXG. IOI

Pour cela, je considère

10^= 6 I0gi+£'l0gl

Comment varie ce nombre? Je prends sa différentielle totale

de log- -f- de' loir — -{- de -h de1 ;

elle doit s'annuler pour qu'il y ait maximum. Mais z, z' ne sont pas indépendants. On a

<^s -+- de' — g.

Donc

log — ----- log ->

Le maximum sera atteint pour

et ce maximum sera égal à l'unité.

Comment variera A? Je fais e — o, A est égal à q; je fais s = i, A est égal à p.

A part de q, croît jusqu'à i pour e = p, puis décroît jusqu'à p.

55. La formule qui donne une valeur approchée de ni est ni = n^e~n \/n¥ (n).

F (n) tend vers une limite, s/vn, quand n augmente indéfiniment,

(/i + i)! = (n -4- i)«-Me-(»+i> \/« -+- 1 F(« -h i).

On en tire

n-h i J y n -h i = i-(» + l)log(« + I

Il s'agit de savoir si F («) va en croissant ou en décroissant avec n, c'est-à-dire si le logarithme du premier membre est positif ou négatif.

Je divise le second membre par n -+- ^; il reste

log

Je pose n et je considère la fonction

<p(.r) = - — ! — — log(i 4- a;),

c'est-à-dire

?(a?)= r~rr — log(n-#).

9 (n) est-il positif ou négatif? x varie de o à i. Pour x = o,

pour .r = i ,

Comme log2 = 0,69. . <p (1) est négatif.

APPLICATION DE LA FORMULE DE ST1RLING. Io3

Il faut voir si la dérivée s'annule;

,-. , 2 ( j? + 2 ) — IX I

^ (iT + 2)'2 (.3? -f- i) (.3? -+- 2)2

Le dénominateur est toujours positif; le numérateur est égal à —a?2. Donc cp'(a?j est toujours négatif, par conséquent 9 (#) décroît; donc elle reste négative et

F(oo ) = ^/rô~Tr.

F (n) va toujours en décroissant, mais la décroissance n'est pâs très grande, car

e = 2,8... et ^277 = 2,5....