Écrivons la valeur de wa
Si
et l'on a c'est-à-dire On a aussi
"a— aa(m — a)"1-* P q \ *{m — oc) F(a) F(/n — a) '
Il s'agit de trouver une limite supérieure de cette expression. D'abord
donc
Or — ■ esl lui-même plus petit <|ue — = ; la valeur asvmptotique de «a est en même temps une limite supérieure.
57. Quelle est la probabilité pour que a soit plus petit que cm?
Cette probabilité, II, est
n= uQ-h «tH- . . . -+- //p.
avec
Je suppose
Je vais d'abord écrire
[3 -h i = £ m ; u0, vont en croissant.
Nous avons une limite supérieure de ; si donc
II< A"£m
\/ir.m ££'
A "' y/s m y/a ne'
Soit maintenant Alors
(3 -4- i > em.
n<«p((3-hi).
11 s'agit de trouver une limite supérieure de je pose A = «p(«).
APPLICATION DE I.A FORMULE DE STIBLING
Si — était égal à ê, on aurait m
\ mj\ y 2Trj3( m — |3)
Or, A est une fonction de - qui va en croissant avec ê, jusqu'à e— />, et g»(ej >'© (j~V
Comme il s'agit d'avoir une limite supérieure,
B»<AV»ttp(»i-?)-
D'ailleurs .(3 est supérieur à c»? — i,
Donc
Pour en revenir à II, inférieur à u$ ((3 h- i), nous remarquerons que (3 -f- 1 est lui-même inférieur à zm -+- 1 ; et nous arriverons finalement à une formule un peu plus compliquée que pour zm entier :
tm entier, n < A'
, / ( s m -+- i Y m £ m non entier, n<A"tl/- V s
2ii {e m — i ) (e' m — i) Ainsi :
La probabilité pour que ce soit plus petit que em, si £ est plus petit que p, est toujours inférieure à l'une ou l'autre quantité que nous venons de calculer ci-dessus.
Celte probabilité tend vers zéro quand m croît indéfini-
X06 CHAPITRE V. — APPLICATION DE LA FORMULE DE STIRLING
ment, pourvu que e</?. C'est le théorème de Bernoulli, qui peut s'énoncer encore ainsi :
La probabilité pour que a soit compris entre mp ( i — Q) et mp{i + d) tend vers l'unité quand, 9 restant constant, m croît indéfiniment.
