Nous avons posé
a. — mp -+- À\//w,
et nous avons cherché la probabilité pour que À soit compris entre deux limites 10 et cette probabilité est représentée pour m très grand par l'intégrale suivante :
f \/ — l—e~*PÏdl.
Nous avons été conduits ainsi à rechercher ce qui se passe lorsque la probabilité, pour que x soit compris entre x0 et xif est représentée par l'intégrale
Je dirai, pour abréger, que la loi de probabilité est normale, lorsque la valeur de la probabilité est représentée par cette intégrale.
Je suppose que x soit positif; la probabilité devient
JC JL-e-^^ dx,
c'est-à-dire-*
Io8 CHAPITRE VI.
Si je considère
cette intégrale ira constamment en croissant quand x0 augmente de o i» + », puisque tous ses éléments sont positifs. Elle atteint en particulier la valeur y-
La quantité x0 pour laquelle elle est égale à ^ est ce qu'on
appelle l'écart probable. La probabilité est la même pour que \x\ atteigne ou n'atteigne pas cette valeur.
x0 est proportionnel à j, et les Tables calculées pour cette
intégrale permettent d'en trouver la valeur.
Soit x une quantité dont la loi de probabilité est normale. La valeur probable de x est
La valeur probable de x- est
La loi de probabilité de <xx est encore normale. Posons ocx — x' ; la loi de probabilité de x' est
et il suffit de poser
LA LOI DE GAUSS ET LES ÉPREUVES RÉPÉTÉES. log
La valeur probable du carré de ocx est
59. Supposons que la probabilité pour que x soit compris entre x0 et xx soit exprimée par l'intégrale
et que la probabilité pour que y soit comprise entre y0 et y, soit exprimée par l'intégrale
Supposons en outre que ces deux quantités soientindépendantes, ce qui peut se traduire par les termes suivants : la probabilité pour que la première soit comprise entre x0 et xx est indépendante de la probabilité pour que la seconde soit comprise entre yQ et 7,.
La valeur probable de x1 est celle de y2 est — -^-77 • 2 A2 J 2 A'2
Quelle est la probabilité pour que le point, dont les coordonnées seraient x et y, soit compris à l'intérieur d'une aire donnée?
Occupons-nous d'abord d'une aire rectangulaire.
La probabilité pour que le point x, y tombe à l'intérieur du rectangle, c'est-à-dire pour que les deux systèmes d'inégalités
Xp<X<Xl}
jo<j<yi.
soient satisfaits à la fois, est représentée par la double
I ÎO CHAPITRE VI.
intégrale suivante, étendue à tout le rectangle
r-*,**r-A'«j* dx dy.
Si l'aire est quelconque, je la découpe en rectangles infiniment petits. La probabilité totale sera la somme des intégrales doubles relatives à ces rectangles élémentaires; ce sera, en définitive, l'intégrale double étendue à tous les éléments de l'aire.
