Supposons maintenant que l'on ait
La probabilité pour que z soit compris entre z el z-h dz
est celle pour que le point i^y?) so'1 compris entre deux droites parallèles infiniment voisines; la probabilité cherchée sera celle qui est relative à cette aire infiniment petite.
35 Je vais décomposer cette aire infiniment petite en élé-
ments.
Pour cela je partage l'axe
des x en une infinité d'éléments, et par les points de division je mène des parallèles à l'axe des/; j'obtiens ainsi une infinité de petits parallélogrammes : quelle est l'aire de l'un d'eux, ^BCD?
Les points A et B sont sur la droite
les coordonnées de A sont x. et z — x, celles de B, x-h dx et z — x — dx.
Les points C et D sont sur la droite
x h- y = z 4- dz ;
les coordonnées de D sont
x et z -h dz — x ;
celles de C
x -+- dx et z -\- dz — x — dx.
L'aire du parallélogramme est dxdz.
L'intégrale double sera la somme des éléments relatifs à chaque parallélogramme
dxdz—e-h,*'-h^-^'\ r.
Dans une première intégration, y et z doivent être regardées comme constantes et x varie de — oo à + oo. L'intégrale est donc
J * e-h^ m-h^^ dx.
Posons
c'est-à-dire
P — (A2 + h'2)x- — 2h'2xz -+-h'2z2,
P = (ax— è)24- c
en posant
Nous avons à évaluer
dx
dx.
Posons
ax — b — ç :
celte intégrale est
,.dl
et finalement, comme x ou £ varie de — ce à + », a
La probabilité cherchée, pour que z soit compris entre s et z -+-dz, est donc
• hh' e~<dz —
\/Tt a
On a, d'autre part,
h'kz* h* h'* m9
c — h"zs
La probabilité en question est donc dz — —
La loi de probabilité est normale.
La valeur probable de z- ou de (x-hy)2 sera
c'est-à-dire que la valeur probable de (x -+- y)- est la somme de la valeur probable de xi et de la valeur probable de y2.
La valeur probable de ixy est, en effet, nulle ici, et nous ne l'aurions pas su a priori, si la loi de probabilité n'avait pas été normale.
Cette élégante démonstration est due à M. d'Ocagne.
61. Problème des épreuves répétées. — Deux événements contraires, A et B, ont pour probabilités respectives p et g. Ainsi une urne contient jji boules blanches et v boules noires,
on en tire un très grand nombre de boules m. en remettant chaque l'ois la boule sortie dans l'urne. Si l'on a tiré a boules blanches, il y a beaucoup de chances, d'après le théorème
de Bernoulli, que diffère peu de l'unité.
La valeur probable de À2 sera égale à pg.
Changeons un peu les conditions, de manière que le hasard ne préside plus seul à la distribution des coups. Considérons deux urnes, la première renfermant p. boules blanches et v noires, la seconde \i' blanches et v' noires, et convenons de tirer alternativement dans l'une et dans l'autre.
Après un très grand nombre, m, de tirages, a blanches sont sorties et m — a noires. Alors — sera très voisin de p qui est ici égal à
2 JUL ■+- V ' 2 jx'+v'
Mais la loi des écarts sera-l-elle la même? 11 ne peut en être ainsi.
Ii4 CHAPITRE VI.
Supposons que la première urne ne renferme que des blanches, la seconde que des noires: nous aurons tiré —
blanches cl ^ noires. Alors — sera égal à -> et l'écart sera
nul./? étant aussi *-* La valeur probable de 1- sera zéro; elle devrait être égalé à -, car
La loi des écarts n'est donc pas la même.
62. Je veux montrer que, si une autre cause que le hasard intervient, l'écart probable (ou la valeur probable de À2) sera plus petit que si le hasard seul avait agi.
Les m épreuves forment deux catégories, l'une de (3m, l'autre de fi' m épreuves,, et l'on a
Supposons que les événements A et B aient respectivement, pour probabilités, p et q dans la première catégorie, p' et q' dans la seconde.
L'événement A se présente a fois dans la première, a' fois dans la seconde ; B se présente (3m — a et fi' m — a' fois.
Le nombre total des épreuves favorables à A sera a -+- a';
• . . o / i ai t a a'
a sera 1res voisin de fimp, et a de p'mp ; et ^l/n^,
s'écarteront très peu de l'unité; a-\-a.' sera très voisin de fimp -+- fi'mp' , c'est-à-dire que l'écart sera de l'ordre de grandeur de \frn, de sorte que la répétilion'des événements sera à peu près la môme que dans une seule série d'épreuves,
où les probabilités de A et de B seraient respectivement
(3/>H-(3<// et ffy + py.
Cherchons la loi des écarts. Je vais poser
a — (3 m/> h- X m, a' = fi nip' + /.' \J fi m.
Pour l'épreuve totale, ce serait
a -+- a'= />< ( [3/> -+- j3'/?' ) H- à" \fm,
fip-hfip' étant la probabilité de A dans l'ensemble des épreuves.
Composons les valeurs probables de X2, X'2. À"2, que nous écrirons (X2), (X'2); (X"2). .
Nous aurons
(r-)-pq, (ï"-)=p'q',
et de même, si le hasard agissait seul, on aurait
Cherchons sa véritable valeur.
Nous avons
X" \Jm = À y/ (3 m -4- X' y/ [3'' m
OU
Les deux événements sont indépendants : la probabilité pour que À soit compris entre deux limites données est indépendante de la probabilité pour que X' soit compris entre deux limites données. Les lois de probabilités de X\/(3 elV\/fi seront normales, et la loi de probabilité de leur somme X \f$ + X' \Jfi sera aussi normale.
Il6 CHAPITRE VI.
La valeur probable de X"2 sera
(À"2) = (3 (A») + £'(a") =Ppq+ Pp'q'.
Telle sera la véritable expression de la valeur probable du carre de l'écart.
Comparons les deux valeurs; la différence est
(£>p + fL'p>) (00 + — ÇpW + jjy^j
ou. en rappelant que [3 -+- f3' r= i,
H- ) (P<7 + (3'?') - (P/V + (3>V/) ((3 + [3'), c'est-à-dire
fiP'ipq'+p'q—pq—p'q')
ou
PP'Cp— p')(q'— q)-
Or
p — p' — q'—q, La différence envisagée est donc positive, et l'on a
( a")< ( P/> -t isy -k]3' >.
63. On utilise celte propriété dans la statistique. On a relevé des observations dans un Tableau, et l'on veut voir si les différences observées sont dues au hasard, ou si le hasard n'intervient pas seul.
On compare, pour un certain nombre de cas, le rapport du nombre des arrivées de A à celles de B.
Soient N et N' le nombre total des arrivées de A et de B; on aura
Divisons, maintenant, le Tableau en plusieurs séries; soit
dans chacune de ces séries m le nombre total des épreuves et
a — pin -f- ~h \Jm
le nombre des épreuves favorables à A. On calculera 1 pour chaque série ; on cbercherala moyenne arithmétique de X2; si cette moyenne est égale à pq, le hasard intervient seul; si elle est plus petite que pq, il intervient une cause indépendante du hasard.
PROBABILITÉ DU CONTINU
63. Paradoxe de J. Bertrand. — Nous avons été amenés à considérer un nombre très grand de cas possibles, mais ce nombre reslait fini. A certains moments, nous avons envisagé des questions de limites et remplacé les par des J •
Nous allons arriver aux problèmes où le nombre des cas possibles devient infini.
11 faut bien définir ces cas. et le paradoxe de J. Bertrand mettra bien en évidence le genre spécial d'erreurs que ces problèmes peuvent entraîner ; il s'agit de la question suivanle :
Quelle est la probabilité pour qu'une corde d'une circonférence donnée soit plus grande que le côté du triangle équilatéral inscrit?
J. Bertrand traite le problème de deux manières, et les résultats sont absolument opposés.
Soit AB la corde; nous prenons le rayon OA comme unité; les coordonnées polaires de A seront i et o).
Soient a l'angle AOM. OM étant la perpendiculaire abaissée
PROBABILITÉ DU CONTINU. Iig
du centre sur la corde, P le point où cette perpendiculaire rencontre la courbe et M le milieu de la corde. L'angle P(Xr, ou 6. est égal à a h- w.
64. Premier raisonnement. — Le point A peut se trouver en n'importe quel point de la circonférence. La probabilité pour que « soit compris entre o>0 et co, est proportionnelle à la différence — 27r"° ' point A .déterminé, là corde peut prendre toutes, les directions possibles, c'est-à-dire que, A étant choisi, je puis faire prendre à a toutes les valeurs possibles entre o 'et - •
La probabilité pour que a . soit compris entre a0 et c.x est proportionnelle à a, — a0. Si AB était le coté du triangle équilatéral inscrit, y. serait égal à 6o°.
Comme a peut prendre toutes les valeurs de o° à 900, la probabilité pour que la corde soit plus grande que le côté du triangle est
qo° — bo° i 900 — o° — 6
65. Deuxième raisonnement. — La corde peut avoir une direction quelconque. La probabilité pour que 6 soit compris entre 0O et 9, est proportionnelle à 0, — 0o.
Cette direction une fois choisie, je trace OP : la droite AB sera définie quanti je connaîtrai le point M, c'est-à-dire la distance OM = p = cosa.
p peut prendre toutes les valeurs de o à 1 ; on doit admettre que la probabilité pour qu'il soit compris entre c0 et p, est proportionnelle à pt — p0.
Si OM est compris entre o et la corde est plus grande que le côté du triangle.
La probabililé sera donc--
Pourquoi cette contradiction? Nous avons fait des hypothèses différentes dans les deux cas; nous avons défini la probabilité de deux manières différentes.
66. D'une manière générale, on demande de définir la probabilité pour qu'un nombre x soit compris entre x0 et xy : en général, nous pouvons dire que nous n'en savons rien du tout.
Cette probabilité doit dépendre de x0 et de x^ : ce sera donc une fonction telle que P (x6, Xx).
Si nous cherchons la probabilité pour que x soit comprise entre x0 et x2,
en vertu du principe de la probabilité totale, cette probabilité sera
P(x0, Xi) — P(xQ, .Ti) = P(x0, Xx-^dXy).
Cette probabilité sera infiniment petite, et. en divisant par dxx, elle ne dépendra que de xt.
On aura donc dans tous les cas
Mais nous ignorons la nature de 9 (x) qui reste arbitraire : il faut nous la donner au début du problème par une convention spéciale pour qu'il ait un sens.
De même, la probabilité pour que le point {x, y) soit à
xa <^ x\ <C ^2 î
P(x0, xz) = P(x0, X{) + P(XU Xi).
Si
x2 = xx -+- dxi
on a
PROBABILITÉ DU CONTINU
il i
l'intérieur d'une aire donnée est
cp (x, y) dx dy,
l'intégrale double étant étendue à tous les éléments de l'aire ; mais nous ne connaissons pas cp(^?, y).
Le mathématicien n'a plus aucune prise sur le choix de cette hypothèse; mais il doit, une fois qu'elle est choisie, porter son attention à ne pas en faire une autre qui la contredise.
67. On peut avoir plusieurs paramètres xu x^ xp. L'intégrale d'ordre p,
définira alors la probabilité pour que les paramètres x satis-
définie ; il n'y aura qu'à étendre l'intégration à toutes les valeurs de x qui satisfont aux conditions données. Mais cette définition n'aura de sens que quand on se sera donné la fonction <p par une convention préalable.
Je suppose qu'on change de variables et qu'on prenne yx, y2, . . . . yp ; l'intégrale va se transformer en
à l'aide du jacobien ou déterminant fonctionnel des x par rapport aux y.
Cette nouvelle intégrale multiple est entièrement déterminée ; on étendra l'intégration aux limites des y qui correspondent à celles des x, et qui sont connues, puisqu'on connaît les relations qui lient les x et lès y.
fassent à certaines conditions, quand La fonction 9
