Je suppose qu'on ait effectué différentes mesures

d'une même grandeur : quelle est la probabilité pour que la véritable valeur soit comprise entre z et z + dzl

H faut introduire une loi des erreurs. Je suppose que la véritable valeur de la grandeur à mesurer soit z; quelle est la probabilité pour que le résultat de l'observation soit compris entre et a?, + dxx ? Je pourrai dans tous les cas représenter cette probabilité par

dxx 9(^1, z).

Cette loi des erreurs étant admise par convention, quelle est la probabilité pour que z soit compris entre z et z + dzl

C'est un problème de probabilité des causes, et nous allons calculer

TSi est la probabilité a priori pour que z soit compris entre z et z -+- dz; cette probabilité sera représentée par

xni= <\>(z) dz,

4> étant une fonction qui dépendra de ce que nous savons sur z.

Pi est la probabilité pour que, à supposer que la quantité observée soit z, les observations aient donné des résultats compris entre

xt et xx -\- dxif x2 et x2-\-dx,, . .., xn et xn-+-dxn. La probabilité respective de ces événements est dxx y{x^ -s), dx2 y{xî, z), . .., dx„ <?(xn, z).

Pi est la probabilité pour que tous ces événements se soient produits à la fois; comme ces événements sont indépendants, c'est une probabilité composée

Pi= dxx dx2. . .dnn <?(x{, z) y(x2, z) . . ,y(xn, z).

La probabilité a posteriori cherchée a pour numérateur

dz dxx dx2. . .dx,uty(z) y(xlt z) (p(x^, z). . .y(xn, z).

Pour obtenir le dénominateur l&iPi, il faut intégrer cette expression par rapport à z seulement. Dans le quotient, dxu dxiy . . ., dxa sont des constantes qui disparaîtront, et il restera pour la probabilité

108. Cela ne nous apprendrait pas grand'chose si nous» n'avions aucune donnée sur 9 et ^. On a donc fait une hypothèse sur 9, et cette hypothèse a été appelée loi des erreurs.

Elle ne s'obtientpas par des déductions rigoureuses ; plus d'une démonstration qu'on a voulu en donner est grossière,

dz <\i(z) <p(xt,z)q>(x2, z). . .{p(j?a, z)

dz<\>{z)y(xl,z)y{x2, z).. .<p(j?„, z)

LA THÉORiE DES ERREURS ET LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE. 171

entr=e autres celle qui s'appuie sur l'affirmation que la probabilité des écarts est proportionnelle aux écarts. Tout le monde y croit cependant, me disait un jour M. Lippmann, car les expérimentateurs s'imaginent que c'est un théorème de mathématiques, et les mathématiciens que c'est un fait expérimental.

Voici comment Gauss y est arrivé.

Lorsque nous cherchons la meilleure valeur à donnera z, nous n'avons pas d'autre ressource que de prendre la moyenne entre xu x%, . . ., xn, en l'absence de toute considération qui justifierait un autre choix. 11 faut donc que la loi des erreurs s'adapte à cette façon d'opérer. Gauss cherche quelle doit être cp pour que la valeur la plus probable soit la valeur moyenne.

109. Si dz est constant, la probabilité pour que z soit compris dans ^intervalle dz est

<p(a?5, z)y(xi,z). . .v(xn, z)dz.

La valeur la plus probable sera celle pour laquelle cette fonction sera maximum. Supposons ce maximum atteint quand z est la moyenne.

Gauss a d'abord égalé la fonction '\> à i, puis il a admis que y(xu z) était de la forme cp(s — xx ).

Quelle doit être alors la fonction 9 pour que

<p(s — xx) o(z — x2). . .cp(s — xn)

soit maximum avec cette valeur de

Égalons à zéro la dérivée logarithmique de l'expression précédente par apport à z,

y'(z — xt) i y'(z — X*) t y' (2 — xn) q

op(z — .r,) ' 0(3 — x^ '"' cp (z — xn)

Je pose

L'équation à vérifier devient

Cette condition devra être réalisée toutes les fois que

bex -i- a?sH- . . . -+- xn — nz.

Je vais donner à a?,, x2, xn des accroissements dxiy dx.ly dxn\ z restant constant, la somme des x doit rester constante et l'on doit avoir

F'(xi)dxt F' (xz) dx2-+- . . .4- F'(x„) dxn— o, dxx -+- dx2 H- . . 4 -+- dxn — o.

Ces deux équations doivent être identiques, d'où F'(xi)=¥t{xi) = ...==F(xa),

c'est-à-dire que F' (xt) est une constante que je représente

par — a.

F ( Xi ) — a ( z — ■ Xi ) -+- b,

et

logcp(z — xt) — -+- b(z — Xi) -+- c.

Déterminons les constantes a, b, c.

F(Xi) + F(a?,) •+-. .. + F(xn)=z2a(z — Xi) + nb = o, Xi -\r x^-\- . . . -\- xn — nz — — l(z — Xi ) = o.

Comme ces deux équations doivent être identiques, on a

et l'on peut écrire

9 (s — xl) = ece 2 ; c se détermine par la condition

j* . <p (z — xx ) dxi + i .

En posant

— a = 2h, z — xx = y,

on trouve