J. Bertrand présente les objections suivantes

La fonction cp a été prise sous la forme <p(s — xx ), tandis

qu'en réalité elle devrait être cp(z, xx). De plus, on a fait

ip(*) = i, et l'on ne peut l'affirmer « priori. Autre objection : La moyenne est-elle la valeur /«.

probable ou la valeur probable? Ce n'est pas la même

chose.

Supposons qu'une certaine grandeur x puisse prendre pour valeur

i, 2, n — i ou n,

et que chacune de ces valeurs ait.pour probabilité

Pu Pî> • , Pki

de telle sorte que

La valeur probable de .r sera par définition x—pl+2p2-h... + npn.

La valeur la plus probable de x sera celle qui correspond au plus grand des nombres p.

Dans le cas du problème des erreurs, la valeur probable de z est donc représentée par le rapport

J dzz<b(z) <p(a?„ z) cp(a?„ z). . .<p(a?B, z)

j dzty(z) 9(*x,z) f (4*t>*) ■ •'•

J. Bertrand dit que Gauss aurait dû chercher, non pas la condition pour que la moyenne soit la valeur la plus probable de z, mais la condition pour que la moyenne soit la valeur probable de z.

111. On peut chercher à s'affranchir des hypotbèses que nous avons failes, à savoir que y(xif z) était de la forme y(z — et que <\>(z) était égale à 1; on peut se demander quelle forme on pouvait donner à ces deux fonctions pour que la moyenne arithmétique de xt, x*, . . ., xn fût bien la valeur la plus probable de z.

En d'autres termes, cette moyenne arithmétique, comme nous l'avons déjà dit, doit rendre maximum

Quand il y a maximum, la dérivée logarithmique est nulle; c'est-à-dire que si l'on pose

on doit avoir

F(-rlt z) + F(.r2, a) .-h¥{x-„, z) -+-y — 0.

Cette égalité d.oit être satisfaite par la valeur de z que définit l'équation

xx -+- x2 -+- . . . -h xn = n z.

Je vais donner à des accroissements

dxlf dx^, . . ., dxn. Je suppose que z ne change pas et que la dernière égalité continue à être satisfaite; % est alors une constante, et

d?Mdx 1 dFi^]dx 1 i rft -n

dxt H- ûfo72 + • ■ • -1- dxn — o.

Ceci ne peut avoir lieu que si

dF(x,) ^F(a?2) ^F(^n)

Donc

où A' est fonction de z seulement; et F = A'xl + B',

B' étant aussi fonction de z seulement. La condition à remplir devient

A'(dp, + x.2-{-. . . ■+- #„) -+- /i B' h- y — o, c'est-à-dire

n(A'z -hB') -+-x recette relation doit être satisfaite quels que soient z el n; donc

c'est-à-dire que <\>{z) est constant et que A'z + B' = o.

Voilà ce que deviendrait l'analyse de Gauss si l'on voulait la reprendre eu tenant compte de la première observation de J. Bertrand.