Une autre objection a été faite à Gauss

La quantité qu'oa doit prendre pour z, ce n'est pas la valeur la plus probable, c'est la valeur probable. En effel, la valeur la plus probable est celle qui correspond à la plus grande valeur de p; elle peut être très différente de toutes les autres, tandis que celles-ci peuvent se grouper très près l'une de l'autre, ce qui donne fort à croire qu'elles diffèrent très peu de la véritable valeur. Elles n'interviennent pas dans la valeur la plus probable, tandis qu'elles contribuent toutes à la valeur probable qui est par définition

La valeur probable de z est

J z^{z)y{xuz)y{x2,z)...y{xn,z)dz *> — »

Les deux quantités sous le signe J ne diffèrent que par le facteur z qui figure en haut.

Il faut choisir et 9 de façon que cette valeur probable soit la valeur moyenne

114. Pour cela, je suppose que p observations aient donné le résultat xx \ p autres, le résultat x2 ; ...; enfin, les p dernières, le résultat xn. C'est un même nombre p, et je le suppose très grand.

Les deux intégrales porteront sur p facteurs égaux à <p(a?i*, z), sur p facteurs égaux à <o{x2, z), . . . , sur p facteurs égaux à ®{xn, z).

Je pose

* = ?(*,■,*) y{x*,z)....y\xn,z).

11 s'agit de vérifier que

J z^{z)$Pdz

x{-h x2-h . . xn

j+ ^(z)$Pdz

Cette égalité devra avoir lieu quelque grand que soit p.

Si, au lieu de deux j*, nous avions le rapport de deux ^\ nous aurions à considérer le rappori

flr,Xf4-g8Xg + . . . + q„X£ 6,X?-f- + * ..-h 6„X£'

où les X,, X2, . . ., X„ seraient fonctions des .r,, ,z\2, . . ., xn et les b,, b.2, . . ., bn des fonctions de z.

Je suppose positives toutes les quantités X. Quelle est la limite de ce rapport quand p croît indéfiniment? Soit X,- la

plus grande des quantités X : la limite sera

En effet, ce rappori peut s'écrire