MM

Toutes les fractions sont plus petites que 1, sauf une seule, celle qui correspond à k — i. Donc, quand p augmente indéfiniment, le rapport considéré a bien pour limite ~

Étendons ce résultat aux intégrales

j^(ûi{z)^P dz et j \><,(z)<t}i'dz;

®i(z) joue le même rôle que aif et y2(z) que bt. Quelle est la limite du rapport de ces intégrales? Soit z0 la quantité qui rend <t> maximum. Celte limite sera

<Pi(-o) <p2(~o)'

c'est-à-dire ici

Cette quantité z0 doit être la moyenne arithmétique.

115. Nous revenons à la même question que précédemment : <S> doit être maximum quand z est la moyenne arithmétique. Nous connaissons la confiition pour qu'il en soit ainsi; c'est

cp(^1,x5) = Ô(^1)eA-r',+B,

les dérivées A' et B' des fonctions de z, À et B, étant liées par

Quand on suppose que cp dépend seulement de la différence z — xu sa dérivée logarithmique par rapport à z,

doit être du premier degré en z — xt ; alors y(z — xt) = CeK'^~^\ A' et Q{xi) sont constants.

Dans le cas général, c'est-à-dire quand on ne suppose pas que 9 dépend seulement de z — xu il reste pour o{xlt z) trois fonctions arbitraires à déterminer : d'abord ty(z), que l'analyse actuelle ne permet plus de déclarer constant comme dans le calcul de la valeur la plus probable; puis 9(xx); puis A. Quant à B, il est lié à A par une relation.

116. Il s'agit de déterminer un peu plus complètement ces fonctions arbitraires.

Je vais supposer p observations donnant pour résultat : la moyenne arithmétique sera a?,; alors

l8o CHAPITRE X.

et l'on doit avoir

J z<]/(z)Q>Pdz = xiJ' ty(z)QPdz;

d'où

Qp J{z — xi)^{z)eP(kx^ïi^dz = o.

Celte relation doit être satisfaite quels que soient/? et xt. 6p a pu sortir du signe J* puisqu'il ne contient pas z, et nous ne pourrons le déterminer par celte condition.