Cherchons ^(z

Axt -+- B est une fonclion de z qui atteint son maximum pour z — xi; soit u\ ce maximum. Je puis donc poser

Ax, -+- B =

u sera réel.

De même

(z-xi)^(z)dz

est une intégrale qui est toujours positive et ne s'annule que pour z = xx ; je puis donc la poser égale à p1, d'où

A^r, h- B = U* — m2, (z — xr) <\>(z) dz = 2 vdv.

Pour achever de définir u et v il faut s'en donner le signe, car nous avons seulement défini */2 et vj. Nous conviendrons de donner à u et à v le signe + si z est plus grand que x% et le signe — dans le cas contraire; u et v sont donc toujours de même signe.

D'ailleurs

un- = A(o-,)a?i-+- B(-r,).

LA THÉORIE DES ERREURS ET LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE. l8l

L'intégrale examinée devient, en faisant sortir une constante,

Je puis supposer v exprimé en fonction de u, 2V dv — f(u) du,

et alors

J'f(u)e~Putdu

doit être nulle, quel que soit p, lorsque les limites sont — oo et -h oo.

118. Gela ne peut arriver que si f(u) est une fonction impaire. En changeant u en — u, on aurait

jf{-u)e-P^du =o,

d'où

flA «) + A- «)] e~pu% du=zo.

Cette relation doit être vraie quelque grand que soit p. Si f(u) est impaire

Si f(u) n'est pas impaire, je développe suivant les puissances croissantes de u. L'intégrale ne pourra être égalée à zéro quel que soit p.

En effet,

Je vais poser

l'intégrale va devenir

pu pn + l

et elle doit être identiquement nulle.

Si nous multiplions par p 2 tous les termes, le premier ne contiendra plus et les autres le contiendront encore;

l'intégrale, au facteur près pn *, se réduira sensiblement pour p très grand à

qui n'est pas nulle.

Donc /(u) doit être fonction impaire de u.