On a posé

(z-xl)^(z)dz=:/(u)du.

Différentions, en considérant xt comme constant, l'autre équation en u,

il vient

dz( k'xt + B') = — iiidu;

or, en lenant compte de la relation

k'z + B'—o, k'xx -+- B' = A'j?! — A' 5 = — A'(* — x, ).

Donc

k(z — xx)dz — iu du,

(Tou

- est une fonction paire, donc ' , ne doit pas chan-

ger quand on change u en — u.

Or -^t- n'est pas une fonction de u, mais une fonction de z indépendante de xx : je dis qu'elle doit se réduire à une constante.

En effet, je considère deux valeurs quelconques de z, zx et z», pour lesquelles A et B prennent respectivement les valeurs At et B,, A2 et B2; je vais choisir xx de façon que

Axxx -+- Bj = A2xx + B2 ; ul — u2 reprendra alors la même valeur pour zx et z2.

Donc^~ qui n'est fonction que de u2 reprendra aussi la même valeur et l'on aura

^(zx) = ty(Si) \'(zl) A'(ss)

ttv ^ ( Z )

Donc . ; est constant.

120. Ainsi la manière la plus générale de satisfaire au postulat de Gauss (modifié conformément à l'objection de J. Bertrand, à savoir que la moyenne est la valeur probable) se traduit par

?(xx,z) = 9(xx)e J