y„Y sera
Dans 1y\y\, il y a autant de termes que d'arrangements de « lettres 2 à 2; le coefficient de M4M2 est donc
138. On pourrait poursuivre avec d'autres valeurs de ip; les expressions deviendraient de plus en plus compliquées.
Tenons compte de ce que n est très grand; il y a dans le second membre des termes en «, en n2, en n3% etc.
A titre d'approximation, ne considérons que les termes du degré le plus élevé en n. Pour ip — 4, ce terme est 3«2M* : pour ip — 6, ce terme est iô^M3..
Ainsi l'erreur moyenne
a comme valeur probable de sa quatrième puissance
et de sa sixième puissance
Calculons cette valeur probable en général,
Dans le second I on ne permute que les indices des y.
Ne conservons que les termes où tous lésa sont pairs; les autres ont une valeur probable nulle. I! vient
<* + /, + ... + =2 a,ÙTU>V"-- ■
Tous les termes sous ie second 2,
ont, en effet, la même valeur probable. Soit N leur nombre ; évaluons N.
139. Je suppose d'abord a,~a2. Si nous permutons y, et y2, nous retrouvons le même terme. Si nous tenions compte de l'ordre, nous aurions autant de termes que d'arrangements 2 à 2 de /jl lettres choisies dans les n lettres ju j2, y,t; nous pourrions avoir ainsi des
termes répétés.
Si les \i. exposants étaient différents, N serait égal au nombre des arrangements de n lettres /x à fx, c'est-à-dire
Je suppose ^ exposants égaux à at, f*2 à a2, . . . , à «K ; de plus, je suppose a,, a2, . . . , otK différents, et
Je considère l'un des arrangements formés avec ces exposants; j'y permute d'une manière quelconque les p.t lëttres dont l'exposant est a,, les p.2 lettres dont l'exposant est a2, les piK lettres dont l'exposant est aK- Je ne change pas le terme correspondant; par conséquent, ce même terme serait reproduit par
Fi ! • • • F-kÎ
arrangements.
fi !
(m —.p)! jxt! fxjl ... pKl'
n(n — i ) . . . ( n — [j. -+- 1 ) p,I f/,! . . . pK!
Ainsi N est un potynome du degré \j. en n.
La plus grande valeur que puisse prendre p est />.
En effet
Les a étant tous pairs, la plus grande valeur de fi. correspondra à
Il n'y aura donc qu'un seul terme de degré p, par rapport à /i,dans N; avec notre ordre d'approximation, c'est le seul que nous devons conserver. Réduit à ce terme, N a la valeur suivante :
En effet, tous les x étant égaux, il en résulte que les lettres f*i> • • •» fAK se réduisent à
lxl — lj.=p1
Dans N, le terme en est ni'
a, -h otjH-. . .-+• 0Lv,= 2p.
140. D'autre part, a„ a„ . . ., a(J. étant égaux à 2, Mai=Mai=.. .= Ma,t=Mî,
ou M2 est la valeur probable du carré d'une erreur individuelle, y\.
La valeur probable de (y, + y2-H- • • • -+-yn)2p est donc
(* + r.-H... + *>"' = ^£ifS
La valeur probable de y2? s'en déduit en divisant par n}P
— (2P)\/MAp 7 ~ p\iP\n )
Comparons avec le résultat donné par la loi de Gauss; on doit avoir
ou
La loi de Gauss est la seule qui conduise à cette expression pour la valeur probable de l'erreur.
Pourvu qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques, et qu'on fasse un grand nombre d'observations, en prenant leur moyenne, on commet donc, avec cette moyenne, une erreur dont la probabilité est conforme à la loi de Gauss.
L'erreur commise avec un instrument est la résultante d'un très grand nombre de petites erreurs indépendantes les unes des autres, et telles que chacune d'elles n'entre que pour une faible part dans le résultat; l'erreur résultante suivra la loi de Gauss.
