Posons le problème d'une autre manière
On a commis dans les observations un certain nombre d'erreurs indiv îuelles, yu yif yn, indépendantes les unes des autres; l'erreur totale est
= Ji + 7î + -.
Supposons d'abord que toules ces erreurs suivent la même loi, et qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques. Le problème est le même.
La valeur probable de/2'^1 sera nulle.
Nous avons évalué au paragraphe 136 la valeur probable de
(r'+yî:-+T-
Ici nous avons à chercher la valeur probable de
La probabilité pour que yt soit comprise entre deux limites données a et. (3,
est la même par hypothèse pour yu y\, yn.
Il nous suffit de multiplier le résultat obtenu pour Sa valeur probable de
+ /5 + . . .,-+- yny-p
c'est-à-dire
(2p) \ /MjV
par n2/", pour. obtenir la valeur probable de y2/\
— (2/7)1 /flM,y 7 />! V » j ' et, en posant nMt — M,
Ainsi la forme de cette expression reste la même, et,
en raisonnant comme précédemment, on conclurait que la probabilité pour que l'erreur totale y soit comprise entre deux limites données reste conforme à la loi de Gauss.
142. Ce raisonnement n'est pas encore satisfaisant, parce qu'il est peu vraisemblable que toutes les erreurs individuelles suivent la même loi. Supposons que la loi ne soit pas la même, mais que toutes les erreurs individuelles soient sensiblement du même ordre .de grandeur et que chacune d'elles contribue pour une faible part à l'erreur totale ; soient
la probabilité pour que /j soit compris entre oc et (3 ;
la probabilité pour que y2 soit compris entre a et (3 ;
la probabilité pour que yn soit compris entre <x et (3.
Je suppose toujours yit cp2, <p„ fonctions paires, autrement dit qu'il n'y a pas d'erreurs systématiques.
Je prends la somme M des valeurs moyennes des carrés des erreurs,
Si toutes les erreurs particulières suivaient la même loi, on aurait la même valeur M2 pour y\, y\> yf„ et ta somme M serait /iM2.
y\+y\ ■+•• • - +yl = M.
Je me bornerai au calcul correspondant aux premiers exposants.
En supposant que toutes les erreurs suivent la même loi, nous avons trouvé que la valeur moyenne de est M; celle dey', 3 M*; celle de y\ i5M3 ....
Refaisons le même calcul en supposant la loi différente pour les différentes erreurs individuelles. J'observe que le produit y™y\ a pour valeur moyenne la valeur probable de y"', multipliée par la valeur probable de y\. En effet, la valeur probable du produit y™y\ sera représentée par
le produit des valeurs probables de y'" et de y\ sera représenté par
Le théorème reste donc vrai dans ce cas-ci comme dans le précédent; et si m est impair, la valeur probable sera nulle.
La différence à remarquer, c'est que les valeurs probables de y™, y™* ne sont P'us égales entre elles.
Remarquons aussi que les quantités cp2, <prt sont censées du même ordre de grandeur.
