Cherchons la valeur moyenne dej*. On a

y*=Iy\-h2lylyi.

Donc,

le dernier terme disparaît; il reste

JUSTIFICATION DE LA LOI DE GAUSS. 2o5

Pour la valeur moyenne de y4, on trouve

en laissant de côté les termes où figurent des exposants impairs.

Le second terme sera beaucoup plus grand que le premier: le premier 2 est un ensemble de a termes, le second 2 un

ensemble de termes; ces nombres de termes sont

respectivement de l'ordre de n et de l'ordre de n*; le premier est négligeable devant le second. Les différents termes des deux 2 sont d'ailleurs, par hypothèse, très petits et sensiblement du même ordre de grandeur. On a, d'autre part,

ou

Le premier terme est encore négligeable devant le second, et celui-ci est identique dans les deux expressions. Donc, avec l'approximation adoptée,

Pour la valeur moyenne de /6, on a

Calculons d'autre part i5M3,

1 5 M3 = 1 5 2 (Jî > *- 45 2 (Jf Y Jl + 90 2 jî-

Comparons les deux seconds membres. Le premier 2 porte sur n termes, le secondé sur n(n — i), le troisième 1 sur n(n~~ ]} îl • ces nombres de termes sont de l'ordre

de grandeur de n, de n2, de n3, et les deux premiers 2 sont

négligeables vis-à-vis du troisième. Comme le terme qui n'est pas négligeable est le même, on a

144. En résumé, supposons que l'erreur finale soit la résultante d'un très grand nombre d'erreurs partielles, indépendantes les unes des autres, et qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques; supposons aussi que ces erreurs, qui seront sensiblement du même ordre de grandeur, entrent chacune pour une faible part dans l'erreur totale.

Dans ce cas, l'erreur résultante suivra sensiblement la loi de Gauss.

Telle est, il me semble, la meilleure raison à donner de la loi de Gauss.

Fonctions caractéristiques. — J'appelle fonction caractéristique / (a) la valeur probable de <?ax; on aura donc

si la quantité x varie d'une manière discontinue et peut prendre seulement un nombre fini de valeurs, et

si x varie d'une manière continue el si 9 (x) représente la loi de probabilité. II est clair que

/(«) =.! H- fL(*)+ —(■*■)•+■

{xp) désignant la valeur probable de xp. On voit que /(o) = i.

La fonction caractéristique suffit pour définir la Joi de probabilité. On a en effet par la formule de Fourier

f(icx) =. j çp ( x ) e£ax dx,

y{x) = / f(ia)e-ictx doc.

Si deux quantités x et / sont indépendantes et si/ (a), fx (a) sont les fonctions caractéristiques correspondantes, la fonction relative à x -\- y sera le produit/ (a) / (a). En effet, comme nous l'avons vu au paragraphe 130, la valeur probable du produit ea(*-^ sera le produit des valeurs probables de eax et ear.

Avec la loi de Gauss

Supposons que deux quantités x et y, indépendantes, suivent l'une et l'autre la loi de Gauss, la première avec ia précision h, l'autre avec la précision A'; les fonctions caractéristiques correspondantes seront

ta fonction caractéristique relative à x + j sera le produit

on trouve aisément

La somme x + / suivra donc aussi la loi de Gauss avec la

précision h" ; c'est le théorème de M. d'Ocagne, démonlré au paragraphe 60.

Supposons maintenant une erreur résultante qui soit la somme d'un très grand nombre d'erreurs partielles, très petites et indépendantes. Soient /i(a),/2('«), ...,/„(«) les fonctions caractéristiques correspondantes.

Chacune d'elles sera de la forme

L'erreur correspondante étant toujours très petite, les coefficients (3 décroîtront très rapidement.

La fonction caractéristique relative à l'erreur résultante sera le produit

c'est-à-dire

gaSp.-Ha'Sp.+ a'Sp,-*-...

Les erreurs n'ayant pas de caractère systématique, nous aurons

D'autre part, les coefficients (3 décroissant très rapidement, 2fi3, 2(34, etc. seront négligeables devant 2(3S, et il restera

ce qui est la forme de la fonction caractéristique qui convient à la loi de Gauss.

145. On a donné de la loi de Gauss une vérification a posteriori, fondée en somme sur le théorème de Bernoulli.

Si une certaine épreuve peut donner naissance à plusieurs événements tels qu'un seul d'entre eux se produise à la fois, et si l'on répète l'épreuve un très grand nombre de

JUSTIFICATION DE LA LOI DE GAUSS. aog

fois, les nombres des événements qui se produiront seront très sensiblement proportionnels à leurs probabilités.

On mesure un grand nombre de fois une quantité z; les résultats sont a?„ a?2, . . xn, et les erreurs yu y2, .. ., yn.

Si nous connaissions bien z, nous connaîtrions bien yu /2> • • •> Jn ; si nous comptons le nombre d'erreurs comprises entre deux limites données, a et b, ce nombre sera proportionnel à

On peut construire la courbe qui représente cp (/,).

-3a -2 -a- 0 oc 2 oc 3a Fig. 16.

On divise l'axe des abscisses en un certain nombre de parties égales à a : chacun de ces petits intervalles est assez grand pour que le nombre des erreurs dans cet intervalle soit grand ; au milieu de cet intervalle, élevons une ordonnée proportionnelle à ce nombre d'erreurs.

La courbe obtenue, si la loi de Gauss est vraie, aura pour équation

C'est une courbe asymptotique à l'axe des abscisses symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Ce résultat se vérifie, paraît-il. Ainsi Bessel a pu repré-

CHAPITHK XI,

senter les résultats d'un grand nombre d'observations de Bradley, sur la déclinaison d'une étoile.

146. On peut aussi se dispenser de tracer une courbe, et vérifier par le calcul.

Remarquons, en premier lieu, que, si l'on ne connaît pas la véritable grandeur à mesurer, on adoptera la valeur moyenne des observations comme la représentant.

Vérifions par le Calcul : la valeur moyenne de y3? serait, d'après la loi de Gauss,

On vérifiera que cette relation est satisfaite. Pour les observations faites, nous connaissons les erreurs /h/î» •••>/«• L'expression

celle de

Éliminons h,

doit être égale à

cette vérification se fait également, paraît-il.

JUSTIFICATION DE LA LOf D£ GAUSS.

On peut encore considérer y-p~*~x. La valeur probable serait'nulle si l'on prenait y avec son signe. En ne considérant que la valeur absolue, on aurait comme valeur pro-: bable, d'après la loi de Gauss,

cette intégrale eulérienne n'est pas nulle.

Si l'on avait pris y avec sa valeur relative, on eût eu

qui est nulle.

147. Exception à la loi de Gauss. — J'ai plaidé de mon mieux jusqu'ici en faveur de la loi de Gauss dont nous allons maintenant tirer les conséquences. Peut-être pourtant la cause n'était-elle pas parfaitement bonne.

Il ne faudrait pas avoir une sorte de superstition pour la méthode des moindres carrés, à laquelle va nous conduire la loi de Gauss. Nous avons vu que l'on avait parfois des raisons de ne pas adopter cette loi.

Elle suppose, en effet, qu'il n'y a pas d'erreur systématique, et il y en a toujours.

D'un autre côté, nous avons vu qu'on est souvent conduit à ne pasappliquerle procédédela moyenne, et, par exemple, à rejeter une observation qui présente avec toutes les autres une-divergence exagérée. Il n'en serait pas ainsi si la loi de Gauss était toujours vraie.

C'est donc que, dans certains cas, on croit avoir des raisons a priori de ne pas adopter la loi de Gauss. Qu'est-ce à dire ? Pourquoi rejetons-nous une observation divergente; c'est parce que nous supposons qu'elle est entachée d'une

erreur grossière, due â un accident quelconque. C'est donc que nous ne considérons pas a priori une erreur grossièr comme tout à fait improbable, comme elle le serait d'après la loi de Gauss.

148. Entrons dans quelques détails. On peut dans certains cas supposer que l'erreur totale se compose de deux erreurs partielles; la première, due elle-même à l'accumulation d'un grand nombre d'erreurs très petites, suivra la loi de Gauss; la deuxième sera une erreur grossière, dont la probabilité est, il est vrai, très faible, mais qui peut être très notable.

C'est ce qui arriverait par exemple si l'on avait négligé, par inadvertance et sans s'en apercevoir, quelque précaution essentielle, quelque réglage indispensable. Et c'est là une hypothèse qui n'a rien de déraisonnable. Soient alors

l'erreur totale, y\ ety2 les deux erreurs partielles. Alors y, suivra la loi de Gauss, et la fonction <p(/i) qui définit la loi de probabilité sera

et la fonction caractéristique correspondante sera eih.

En ce qui concerne l'erreur /2» elle pourra être égale à o, -+- k et — k, les probabilités respectives de ces trois erreurs étant i — 2 e,/e et e; la fonction caractéristique correspondante sera

1 — 2£ + e(eïi+ e-*k)

et la fonction caractéristique relative à l'erreur totale sera le produit

e**[i — ae + e(c«*-i-e-a*)].

JUSTIFICATION DE LA LOI DE GAUSS. 2l3

Quant à la fonction cp(y), elle sera

[(i — 2E)e~kr 4-e(e-/i<-r-^2+e-^>'+^»,)].

Supposons maintenant que nous voulions savoir quelle est la valeur probable de la quantité mesurée z, étant donné que n observations ont donné pour résultats xx; x2, . . ., xn. Nous savons que tout dépend du produit

cpOr,— -s) <p(xs— z) . . . <p(a?„ — z);

la fonction <p ayant trois termes, ce produit en aura 3" ; on trouvera alors pour la valeur probable cherchée

2zkfj.ke-**

le numérateur et le dénominateur ayant 3" termes; on aura d'ailleurs

x, -h x. x. , 9,-h 6, h- ...-h 8„ lx ,29

les nombres 9 pouvant prendre les valeurs o, i ou — i; comme les nombres 8 sont au nombre de n et peuvent prendre chacun trois valeurs, cela fait bien 3* combinaisons.

On aura ensuite

et

<xk=zhli{xi-zk—8ik)\

Pour simplifier, nous supposerons trois observations seulement ayant donné pour résultats o, o et k, et nous négli-

gérons le carré de 2; la valeur probable deviendra alors

| [i - e (2 e-^+ èP)] + ^£ (2 + e-3P),

où (3=|AA2; si (3 est grand, c'est-à-dire si la différence entre l'observation discordante a?8 = k et les observations concordantes xx = a:, == o est grande par rapport à la précision de l'instrument, il peut se faire que ze§ soit fini, et alors, en ne conservant que les quantités finies, la valeur probable devient

f(i-seP),

ou, plus exactement, puisque nous ne pouvons plus négliger le carré de eeP,

Elle est donc plus petite que la moyenne arithmétique, c'est-à-dire que l'on doit attribuer aux observations concordantes un poids plus grand qu'à l'observation discordante. On admet, en somme, qu'il est plus naturel de supposer que cette observation discordante est due à une erreur grossière de la seconde sorte qu'à une erreur de la première sorte conforme à la loi de Gauss, car il est très peu vraisemblable que cette dernière puisse atteindre d'aussi grandes valeurs.

149. On peut s'amuser à faire le calcul avec d'autres lois; nous avons d'abord celles où les grandes erreurs sont plus vraisemblables que dans la loi de Gauss; on peut prendre par exemple

Le calcul ne présente aucune difficulté; avec cette der-

nière loi, et en supposant trois observations xx x3> x2, on trouve pour la valeur probable de z

Pour x-i très grand, cela se réduit à 2 ■>

ce qui montre que, or, et restant fixes, la valeur probable de z ne croît pas indéfiniment avec xz. Ici encore le poids de la valeur discordante est plus petit que celui des valeurs concordantes.

Considérons maintenant des lois où les grandes erreurs sont moins vraisemblables qu'avec la loi de Gauss; comme par exemple

on trouvera alors que le poids de la valeur discordante est plus grand que celui des valeurs concordantes. Et cela paraît d'abord assez paradoxal. Mais il est aisé de s'expliquer ce résultat. Supposons que les trois observations aient donné

la moyenne arithmétique étant les trois erreurs ont été

-=?x2 et

Si l'on avait pris-» les trois erreurs auraient été—- La

2l6 CHAPITRE XI.

probabilité d'une erreur décroissant très vite quand cette

erreur croît, il peut se faire qu'une erreur -y soit tellement invraisemblable qu'elle puisse être regardée comme pratiquement impossible, tandis qu'une erreur ^ resterait admissible. Effectivement

150. Quel genre de modification y aurait-il donc, dans ces derniers cas, à faire subir à la loi de Gauss? La courbe

y = sj\^,

que nous avons précédemment tracée, devrait être relevée dans les parties éloignées de l'axe des ordonnées.

Autre exemple; si la loi de Gauss était exacte, on pourrait, en multipliant suffisamment les observations, obtenir une précision aussi grande que l'on voudrait. Dans bien des cas, on a le sentiment que c'est là une illusion. Avec un mètre divisé en millimètres, on ne pourra jamais, si souvent qu'on répèle les mesures, déterminer une longueur à un millionième de millimètre près.

Comment conviendrait-il de modifier la courbe de Gauss pour tenir compte de ce fait? Ici, ce qui rend illusoires nos efforts pour atteindre une précision infinie, c'est que nous n'avons pas plus de chances de ne pas nous tromper du tout, que de ne nous tromper que d'un micron ou de deux microns. La courbe devrait donc comprendre un petit palier, un petit segment de droite horizontale y = const. s'élendant de part et d'autre de l'axe des y.

Mais une pareille hypothèse est encore insuffisante pour

rendre compte des faits. Avec le raisonnement du paragraphe 135, on verrait que quelle que soit la loi des erreurs, si elle est de la forme <p(a?t'-— z), la valeur probable du carré de l'erreur commise sur une moyenne de n observations tend vers zéro quand n croît indéfiniment. On peut le voir également à l'aide des fonctions caractéristiques. Soit F(a) la fonction caractéristique relative à une observation isolée; la fonction caractéristique relative à la moyenne de n observations sera

Supposons que F(a) soit analytique et que

F(a) = i -+- A,a + À, et» -h: . ..

Nous supposerons que l'erreur n'a pas de caractère systé matique, c'est-à-dire que Aiz=o; nous aurons alors

ce qui montre que l'erreur est nulle.

A la vérité, on pourrait supposer que F(oc) n'est pas analytique et prendre par exemple

logF(a) = Bja1-!- B3a3 + . .

d'où

et à la limite

On en déduirai:

de sorte que l'erreur sur la moyenne ne tendrait pas vers zéro; cette hypothèse correspond à la suivante :

Comment le raisonnement du paragraphe 135 se trouve-t-il en défaut dans ce cas?

D'après ce raisonnement, la valeur probable du carré de l'erreur sur la moyenne est n fois plus petite que la valeur probable du carré de l'erreur d'une observation isolée. Cela reste vrai, mais ici cette dernière valeur probable, représentée par l'intégrale

r y*-dy 71 J » 1 -+- 72 '

est infinie.

Cela n'est pas encore la solution que nous cherchons. Nous ne verrions pas l'erreur sur la moyenne tendre vers zéro, si la fonction <p(y) ne tendait vers zéro plus vile

que pour y très grand, c'est-à-dire si de très grandes

erreurs n'étaient pas très improbables.

Mais si nous ne pouvons compter qu'un instrument quelconque nous donnera une approximation indéfinie, à la condition de répéter suffisamment les observations, ce n'est pas à cause des très grandes erreurs, c'est au contraire à cause des très petites erreurs, le bon sens l'indique suffisamment.

151. Il faut donc admettre que la fonction cp n'est pas de la forme y(xt- — z), mais de la forme <o(x„ z). Supposons par exemple que l'instrument soit gradué en divisions dont nous puissions apprécier le dixième; en général, nous ne noterons sur notre carnet que des nombres entiers de

dixièmes: si nous y inscrivions des cenlièmes ou des millièmes, ce serait tout à fait au hasard. Supposons qu'il n'y ait d'autre erreur à craindre que l'erreur de lecture ; prenons pour unité le dixième de division, de façon que ^ soit toujours un entier. N'ous pouvons admettre par exemple que, si z est compris entre p — e et p + £ (p étant entier), nous noterons certainement xt— p ; que si z est compris entre

P -+- e ètp -h i;— s, il y aura une probabilité ^ pour que nous

marquions xt—p et une probabilité ^ pour que nous marquions xt— p~hi.

Si s est compris entre p -4- e et p + 1 — s, et que nous fassions n observations, nous marquerons n' fois p et n" fois

p 4-1 ; Je rapport de n' et de n" à ^ tendra vers i quand le nombre des observations croîtra; la moyenne

tendra vers p + ~ et ne tendra nullement vers

On arriverait à des résultats analogues avec des lois analogues, mais plus compliquées, soit que la probabilité pour qu'on lise p varie d'une façon continue avec z, pourvu que cette probabilité ne soit pas une fonction linéaire de z — p ; soit,* ce qui est plus vraisemblable, que la courbe Qui représente cette probabilité présente un palier comme cela avait lieu dans l'exemple particulier que nous venons de traiter; soit enfin qu'à une erreur de lecture offrant l'une de ces particularités, viennent se superposer des erreurs provenant d'autres sources et suivant la loi de Gauss.

Si cp(.r;, z) ne dépend pas uniquement de la différence

yi—.xi — zy la valeur probable de l'erreur qui est

dépend de z. Il se peut qu'elle ne soit pas nulle, bien que l'erreur n'ait aucun caractère systématique proprement dit. Si en effet cette valeur probable est représentée pav9(z), il suffit que l'intégrale

9(z)dz

[ou mieux J* ty(z)9(z)dz, où ty(z) représente la probabilité a priori pour que z ait une valeur donnée], comme dans le chapitre X, soit nulle, pour que Terreur ne puisse pas être dite systématique; mais 6(z) n'a pas besoin d'être identiquement nul. Par exemple, reprenons l'hypothèse où nous nous étions placés plus haut, et supposons de plus que nous sachions d'avance que z est compris entre p et p + 1 ; de sorte que ty(z) est nul quand z n'est pas compris entre ces limites et peut être regardée comme une constante dans le cas contraire. On aura alors

#( z) =/?-+- i —£ (p~t-e<z <p-hi — s),

Q'z)=p-hl — £ (p -+- I — c < Z <p •+- l).

Il est aisé de voir que

f ^{z)B{z)dz=j%P 9(z)dz

152. Reprenons alors la formule du Chapitre XI qui nous donnait la valeur probable du carré de l'erreur commise sur

Ja moyenne

ce qui peut encore s'écrire

7 «(«-0 jy

Cette formule subsiste seulement quand les valeurs probables y et y2 de l'erreur d'une observation isolée et de son carré vont dépendre de z. D'après ce qui précède,

peut ne pas être nul ; le premier terme tendra vers zéro quand n croît indéfiniment; mais il n'en est pas de même du second qui tendra vers

de sorte que la valeur probable du carré de l'erreur commise sur la moyenne devra s'écrire (en n'attribuant plus à z une valeur particulière)

y" p(z)Mz)dz

et ne s'annulera pas puisque tous ses éléments sont positifs.

On pourrait auési se servir de la fonction caractéristique; celle-ci peut s'écrire

F(a, s) = <îP*«-»-Mi+^;

les (3 dépendent de z et (3,, qui n'est autre chose que 0(z), peut ne pas être nul. Pour l'erreur commise sur la moyenne,

la fonction caractéristique sera

qui pour n très grand se réduit à

Les valeurs probables de l'erreur sur la moyenne et de son carré seront alors (3, et (3* pour une valeur particulière de z, et si on ne se donne pas une valeur particulière de z,

153. La loi deGauss suppose encore cp fonction de y seulement, y étant égal à x — z, tandis que 9 peut dépendre de x et de z.

Par exemple, pour tenir compte de l'erreur décimale nous aurions pu prendre

8{x) étant une fonction périodique de x, de période 1,

certains observateurs et sur lesquelles ils retombent toujours. D'autre part, il y a moins de chance d'erreur si l'on tombe précisément sur une division donnée directement par l'instrument, que si l'on est obligé de subdiviser une de ces divisions au jugé. Alors h ne serait plus une constante, mais une fonction de x qui aurait une période égale à 1 ; la

qui serait maximum pour les décimales qu'affectionnent

précision serait plus grande quand x serait un nombre entier que dans le cas contraire; si même l'observateur évalue fort bien le dixième, mais ne sait pas donner d'autres décimales, 0{œ) sera rigoureusement nul pour toute valeur de x qui ne sera pas multiple de un dixième.

154. Problème des erreurs commises sur la situation d'un point. — Au lieu d'une seule grandeur mesurée, il arrive souvent qu'on en combine plusieurs, comme les deux coordonnées d'un astre, etc.

Je suppose, par exemple, que, pour évaluer la situation d'un point dans un plan, on ail fait n observations, et que l'on ait trouvé pour ses deux coordonnées rectangulaires, x et y, les valeurs

Les erreurs commises sont

xx — x et

x2 — x et

xn — x et

yn—y.

Je vais poser

xt — x ■+■

Xi — x -+- £2,

yt—y + ri^

xn=x-h%n,

yn=

y + vin.

Les erreurs commises sont ainsi représentées par

h et tij, Z% et y}?,

\n et

155. On peut se demander quelle est la probabilité pour que les erreurs commises sur la première observation soient comprises entre £1 et £t -h d\x, f\x et yji + dt),.

cette probabilité; il pourrait se faire que 9 dépende de #et dey, mais je suppose qu'il n'en est rien, et que <p dépend seulement des erreurs.

Ces erreurs peuvent être indépendantes ; alors 9 serait le produit de deux autres fonctions el la probabilité serait représentée par

?Ui)<piK)^i^i;

mais je suppose encore que l'erreur commise sur l'abscisse ne soit pas indépendante de l'erreur commise sur l'ordonnée.

Le raisonnement est analogue à celui de Gauss dans le cas d'une variable. On s'appuie sur le postulat suivant :

Si on a fait un certain nombre d'observations, on reporte les points observés sur un plan ; la position la plus probable est le centre de gravité de ces points supposés de masse égale.

156. A l'exemple de Gauss, nous admettrons que cette manière de voir est légitime. Quelle est la loi d'erreurs qui justifie cette hypothèse?

2î6 CtlAtMTIIE XII.

Cherchons la prohabilité pour que les coordonnées du point soient comprises entre x et x -+- dx, y et y + dy.

C'est un problème de probabilité des causes, et il nous faut chercher encore

t&i est la probabilité a priori pour que les coordonnée» soient comprises entre x et x + dx, y et y -+■ dy ; représentons-la par

TBi — <J> ( x, y ) dx dy.

Pi est la probabilité pour que, si la cause agit, le phénomène observé se soit produit : ici, le phénomène observé, c'est que les coordonnées sont l'une entre

xx et xt-\-dxl, x3 et x2-h dx2,

xn et xn-\-dxn,

l'autre entre

yt et yK + dyx,

y* et y^-hdy,,

yn et y*-hdyn.

Pi est le produit des probabilités relatives à chacune des observations

l/=y(Çi,Tii)?(gai ïis) . , . <p(|», i\-n) d\xdnxditdn% . . • d^,tdnn. Soit

H =>($!, Yli) VJî) • • • *)«)•

Alors

sera

II J> dx dy dc> \ dt\\ d1A dt)2 . . . dl„ dt)n II <| dx dy d£A dr\x d\% dn2 • • • dcn d-rj,

l'intégrale étant prise par rapport à x et y; il reste II >]/ dx dy

dx dy

Le dénominateur est constant et indépendant de x et de y; la probabilité est donc proportionnelle au numérateur.

157. Quelle sera la valeur la plus favorable? celle qui rend maximum le numérateur ILJ/. Or

Tl = y(xl — x,yl- y) o (x, — x, y% — y) . . . o {xn - x, yn~y)-

Quelles sont les valeurs de x et de y qui rendent ce produit maximum? D'après le postulat, c'est la moyenne arithmétique de xlf x2, . .., xn pour x, et la moyenne arithmétique de y i, y 2, pour j. Égalons les dérivées logarithmiques aux fonctions suivantes :

do do dty dty

La dérivée logarithmique de n-| par rapport à x, qui doit s'annuler pour le maximum est

— F ni) — F (5,; *i) — — F(£„, /}«) + ô'=o,

d'où

La dérivée logarithmique par rapport h y conduirait à

F0(£„ ijt) + F„(£s, flj) -H. . .+ F0(£„, -nn) = 60.

Ces deux relations devront être vérifiées toutes les fois qu'on aura

ar,+ â7s+ • . ••-+- ^/t=

Ji + ... + /„ =nv,

c'est-à-dire

fil + TTJ2 -h . . .+ ÏJ„= O.

158. Il s'agit de déterminer les fonctions 9 et <\> de telle façon que les deux systèmes d'équations soient compatibles.

Différentions ces deux systèmes, en regardant x et y comme constants, et en faisant varier yjt, yj„ ... *, \M 1*jJl. La dérivée de 9 et de 0O, dans le second membre, sera nulle, puisque 0 et 90 ne dépendent pas de ces quantités.

J'appelle Ft et F? les fonctions suivantes :

F,=F (fc, it), F? = F0(&, r>i).

Le premier système devient

dFl 4- </F2 + • . . 4- d¥n d¥\ 4- dF°2 4- . . . 4- dF"

et le second système est

-f- ^2 + • • • 'd\n = O) di)i 4- dr\% 4- ... 4- dnn = o.

Tels sont les deux systèmes qui doivent être équivalents. Les deux premières équations doivent être une combinaison des deux dernières; nous devons avoir identi-

quemenl

= A d^i -4- B dnx h- A d\% + B drii + . . . + A dln + B dr\n. Identifions les deux membres :

dFï

dF,

dFn

dix

~ dU ~'

dFt

dF%

<Wn

df)[

— do*

df]n

A ne devrait dépendre que de et de n,, puisqu'il est égal evra dFt

dF

à il devrait aussi ne dépendre que de£2 etde'%, puisqu'il

est égal à

Donc A. et B sont des constantes : Fj est une fonction linéaire de £, et de yj,.

De même F? est une fonction linéaire de lA et de n,. J'ajoute que, en représentant F, par

Ft = A^.+ Brj.+ C,

la constante d'intégration C est nulle.

En effet, si je remplace Ft, F2, F„ par leurs valeurs, j'arrive à

A 4- H2 + . . • + In) + B (-. . + yj, -+- . . . + nn ) + n C == 9. Celle équation doit être satisfaite toutes les fois que

fil H- YJj + . . O.

Donc

23o CHAPITRE XII.

et, comme B est indépendant de n,

If en résulte que est une constante.

Pour que la théorie de Gauss soit applicable, il faut que l'on n'ait aucune idée a priori sur la valeur de la quantité cherchée.

On aurait de même

¥\= D& + Ev)j.

D'ailleurs B = D, car et l'on a

en vertu de la définition de F et de F0. On arrive enfin à

!og<p = A£î + 2B£,yji-+-EtjÎ-+-G,

G étant une constante que nous écrirons log H.

Le polynôme A£J -+- 2.B£tm, •+- En* doit être négatif, car une erreur infiniment grande doit avoir une probabilité nulle : représentons-le par — P.

— P + logH d'où

L'intégrale

ff

9 dEi «/mi

doit être égale à l'unité pour toutes les valeurs possibles de x et de /.

ERREURS SUR L4 8ITUATI0N d'un POINT. 23 1

159. Ce raisonnement donnerait prise aux mômes objections que le raisonnement de Gauss.

Si nous admettons la loi de Gauss en dépit de ces objections, on peut construire les courbes

P = const.,

en plaçant l'origine au point visé, c'est-à-dire à très peu près le point moyen. Le problème est analogue à celui du tir à la cible.

Les points se répartissent conformément à la loi de Gauss généralisée.

Les courbes P = const. seront des ellipses concentriques ayant les mêmes directions d'axes.

Considérons l'une de ces ellipses : je mène par 0 plusieurs droites qui partagent le plan en secteurs, i, 2, 3, 4-

Soients, la partie intérieure à l'ellipse du premier secteur, S, la partie extérieure.

S'il y a un très grand nombre de points de chute, ils se répartiront à peu près proportionnellement à leurs probabilités. Dans s, il y aura ny points, dans St il y en aura N,. Le théorème qui résulte immédiatement de la formule est le suivant :

fil — Hi — — N, ~ N; ~ N3 N4*

Dans chaque secteur, il y a le même rapport entre le nombre des points intérieurs et le nombre des points extérieurs à l'ellipse.