VIII. — Réflexions diverses
II y aurait beaucoup d'autres questions à soulever, si je voulais les aborder avant d'avoir résolu celle que je m'étais plus spécialement proposée^ Quand nous constatons un résultat simple, quand nous trouvons un nombre rond, par exemple, nous disons qu'un pareil résultat ne peut pas être dû au hasard, et nous cherchons pour l'expliquer une cause non fortuite. Et, en effet, il n'y a qu'une très faible probabilité pour qu'entre ioooo nombres, le liasard amène, un nombre rond, le nombre 10000 par exemple; il y a seulement une chance sur ioooo. Mais il n'y a non plus qu'une chance sur ioooo pour qu'il amène n'importe quel autre nombre; et cependant ce résultat ne nous étonnera pas, et il ne nous répugnera pas de l'attribuer au hasard; et cela simplement parce qu'il sera moins frappant.
Y a-t-il là, de notre part, une simple illusion, ou bien y at-il des cas où cette façon dé voir est légitime? Il faut l'espérer, car, sans cela, toute "science serait impossible. Quand nous voulons contrôler une hypothèse, que faisons-nous? Nous ne. pouvons en vérifier toutes les conséquences, puisqu'elles seraient en nombre infini; nous nous contentons d'en vérifier quelques-unes et, si nous réussissons, nous déclarons l'hypothèse confirmée, car tant de succès ne sauraient être dus au hasard. Et c'est toujours au fond le même raisonnement.
Je ne puis ici le justifier complètement, cela me prendrait trop de temps; mais je puis dire au moins ceci : nous nous trouvons en présence de deux hypothèses, ou bien une cause simple, ou bien cet ensemble de causes complexes que nous appelons le hasard. Nous ' trouvons naturel d'ad-
mettre que la première doit produire un résultat simple, et, alors, si nous constatons ce résultat simple, le nombre rond, par exemple, il nous paraît plus vraisemblable de l'attribuer à la cause simple qui devait nous le donner presque certainement, qu'au hasard qui ne pouvait nous le donner qu.'une. fois sur 10000. Il n'en sera plus de même, si . nous constatons un résultat qui n'est pas simple; le hasard, il est vrai, ne l'amènera pas non plus plus d'une fois sur ioooo; mais la cause simple n'a pas plus de chance de le produire.
Nous verrons plus loin pourquoi, dans une table de logarithmes, les décimales paraissent distribuées conformément aux lois du hasard. On peut se poser la même question en ce qui concerne le nombre n. Ici, elle est plus délicate.
Nous savons, par exemple, (pie ce nombre est compris entre 3 et /j , et nous envisageons les n premières décimales; considérons la partie entière de jo" (tz — 3), elle est comprise entre o et io"; parmi les io" entiers, compris entre ces limites, considérons-en un au basant envisageons combien il y figure de chiffres 7 et combien de chiffres 5, et envisageons l'excès du premier nombre sur le second. Soit e cet excès. Supposons que parmi nos 10" nombres, il y en
ait N où le rapport ^ soit plus petit que e.
La loi des grands nombres nous apprend que N. 10^" tend vers 1, quand n croît indéfiniment. Si donc, nous choisissons entre ces limites un nombre au hasard, la probabilité pour (pie l'excès e et lés excès analogues soient relativement très petits, c'est-à-dire la probabilité pour que les décimales soient réparties conformément aux lois du hasard, sera très voisine de la certitude.
Mais pourquoi avons-nous le droit de raisonner comme
si le nombre 7i avait été choisi au hasard. Si au lieu de t., nous avions envisagé une fraction rationnelle simple, dont la réduction en fraction décimale aurait engendré une fraction périodique, le résultat n'aurait plus élé vrai du tout.
Il semble que le nombre n nous paraît cboisi au hasard, parcesiue sa genèse est compliquée et que nous raisonnons inconsciemment sur lui, comme nous avons coutume de le faire sur les effets produits par un ensemble de causes compliquées.
1. On ne peut, guère donner une définition satisfaisante de la Probabilité. On dit ordinairement : la probabilité d'un événement est le rapport du nombre des cas favorables à cet événement au nombre total des cas possibles.
Ainsi, si le premier nombre est n et le second N, la probabilité est ^ ; cette définition, dans certains cas, ne soulève aucune difficulté. Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de tirer un roi est puisque le nombre total des cas possibles,
c'est-à-dire des cartes, est 32, et que parmi- ces caries il y a quatre rois; on a donc ici N = 32, n — l\. Quand on jette
un dé, la probabilité d'amener je point 4 est ^, car N — 6 et
n — i, le dé ayant 6 faces dont une seule porte le point 4- Dans une urne qui contient n boules blancbes et p noires, on tire une boule; la probabilité qu'elle soit blanche est
2. Prenons un- exemple un peu plus compliqué. Deux urnes, qui ne diffèrent pas extérieurement, renferment la première n boules blanches et p noires, la seconde n' blanches et p' noires.
On fait tirer une bouie à une personne, et on demande quelle est la probabilité pour amener blanche. On pourrait dire que le nombre total des cas est n -+- n' 4-/?-+ p' et que
la probabilité est - ^ ^. On peut dire aussi que
deux cas peuvent d'abord se présenter, soit la première, soit la seconde urne; la probabilité de prendre dans la première.
est -5 et dans la seconde -> car il y a autant de chances de
mettre la main dans l'une que dans l'autre. Si j'ai mis la
main dans la première urne, la probabilité est ^ pour
que, prenant dans la première urne*, on ait une boule blanche; en vertu du théorème de la probabilité composée, que je ne tarderai pas à établir, la probabilité de mettre à la fois, la main dans la première urne et d'en tirer une boule
blanche est l- — - — ; la probabilité analogue pour la seconde
1 n' urne est - — , •
La somme
2 II + p 2 11 -t- p
est l'évaluation correcte de la probabilité demandée, et i! n'y aura égalité entre les deux évaluations que dans un cas particulier
n n' , n n' = —. p cest-a-dire — = — •
A quoi tient cette divergence ? A ce que les n -+- n' -t- p -\-pf cas ne sont pas également probables.
Ainsi, supposons qu'il y ait deux fois plus de boules dans
La probabilité pour que je prenne une boule donnée dans cette urne est - ^ ^- — ; et pour que je la prenne dans la
seconde elle est - — -
A la définition de la probabilité, il faut donc ajouter : à condition que tous les cas soient également vraisemblables. Citons deux autres exemples dus à Bertrand.
3. Problème des trois coffrets. — Trois coffrets identiques, A,B,C, .ont chacun deux tiroirs, oc, (3 ; ceux de A contiennent chacun une pièce d'or, ceux de B une pièce d'argent, et ceux, de C ont l'un une pièce d'or, l'autre une
or argent or or argent argent.
Quelle est la probabilité pour que, en ouvrant au hasard un des six tiroirs, l'on ait une pièce d'or? Six cas sont également probables : Aa, A (3, Ba, B(3, Ca, C(3; de ces sixcas, trois sont favorables à l'arrivée de la pièce d'or : A a,A^,C«.
La probabilité est donc -■
Si l'on prend un des trois coffrets au hasard, la probabilité pour prendre C est
J'ouvre au hasard un des tiroirs, j'y trouve une médaille (I >r; quelle est la probabilité pour que la deuxième médaille soit en argent ?
la première urne
pièce d'argent. :
DÉFINITION DES PROBABILITES. 1J
Ou bien, je suis tombé sur le coffret C, ou bien sur le coffret A : dans le premier cas, la seconde médaille sera en argent, dans le second en or. La probabilité • semble
donc-- Cette conclusion est fausse.
Avant d'ouvrir le tiroir, je savais que j'y trouverais une pièce d'or ou une pièce d'argent avec une probabilité égale,
c'est-à-dire^; or, je puis trouver la pièce d'or dans trois
cas, A a, A£, Ca, et de ces trois cas un seul, Ca, est favorable à l'arrivée de la pièce d'argent dans le second tiroir.
Dans la première évaluation de la probabilité à ^, les deux
cas envisagés étaient inégalement probables : le cas A correspond à Aa et à A [3, et est deux fois plus probable que le cas C, qui ne correspond qu'à Ca.
4. Problème du jeu de boules. — Deux joueurs également habiles, Pierre et Paul, jouent aux boules; Pierre a deux boules à lancer, Paul une boule, et la victoire est à celui des deux dont l'une des boules approchera le plus du but.
Quelle est la probabilité pour que Paul gagne?
Soient A et B les boules de Pierre, C celle de Paul; six cas peuvent se présenter, en rangeant les boules suivant leur proximité du but.
ABC, BCA, CAB, ACB, CBA, BAC.
Ces six cas sont également probables; ceux qui donnent la victoire à Pierre sont au nombre de quatre, ceux qui donnent la victoire à Paul au nombre de deux : la probabilité de gagner est donc ^ pour Paul.
On pourrait raisonner autrement : la boule A de Pierre est plus éloignée du but que C, ou bien c'est le contraire.
A>C ou A<C.
De même pour la boule B
B > C ou B < C.
Donc quatre cas sont possibles
A>C avec B > C,
Un seul cas, le premier, est favorable à Paul, puisque sa boule est à la fois plus rapprochée que A et B ; la probabilité
serait donc y' '
Mais les quatre cas ne sont pas également probables.
A > C avec B > C correspond à 2 combinaisons CAB, CBA, A<C » B > G » 1 » AGB,
A>C » B<C » 1 » BCA,
