A<C. » B<C » 2 » ABC, BAC
5. La définition complète de la probabilité est donc une sorte de pétition de principe : comment reconnaître que tous les cas sont également probables? Une définition mathématique ici n'est pas possible; nous devrons; dans chaque application, faire des conventions, dire que nous considérerons tel et tel cas comme également probables. Ces conventions ne sont pas tout à fait arbitraires, mais échappent à l'esprit du mathématicien qui n'aura pas à les examiner, une fois qu'elles seront admises.
Ainsi tout problème de probabilité offre deux périodes d'étude : la première, métaphysique pour ainsi dire, qui légitime telle ou telle convention; la seconde, mathématique, qui applique à ces conventions les règles du calcul.
6. Nous allons grouper les questions dont nous nous occuperons, d'après divers points de vue et, d'abord, au point de vue des cas possibles.
Dans une première catégorie, nous rangerons toutes ceiles'oùle nombre de cas possibles est fini, ne dépasse pas certaines limites; en général, nous aurons affaire à des jeux de hasard, à de simples problèmes d'analyse combinatoire.
Dans une deuxième catégorie, le nombre des cas possibles reste fini, mais devient très grand; on n'a plus alors qu'une expression approchée de la probabilité par la loi des grands nombres, le théorème de Bernoulli, etc. C'est ce qui se présente en statistique.
Dans une troisième catégorie, le nombre des cas possibles est indéfini.
Ainsi, on lance une aiguille sur une feuille de papier où sont tracées des lignes parallèles : la probabilité pour que l'aiguille rencontre une de ces lignes dépend d'un nombre infini de cas possibles.
C'est dans ce cas surtout qu'il faut définir, avec le plus grand soin, les conventions préalables.
On sait, par exemple, qu'un nombre x, fractionnaire ou incommensurable, est compris entre o et i, et on demande
la probabilité pour qu'il soit compris entre oet^: le nombre
des cas possibles est infini. On serait tenté de dire que la
probabilité est cependant on pourrait dire aussi que
si o < x < - , le cari e de x, soit y, est compris entre oet^-
Puisque x- — y, et que x est compris entre o et i, on a o<y < i. Les cas favorables sont tous ceux pour lesquels
o < y < 7; si l'on divise l'intervalle compris entre o et i en
quatre parties égales, la probabilité pour que y soit compris
entre o et 7 est 7-
Ce serait pourtant une erreur grossière d'évaluer également à 7 la probabilité pour que x soit compris entre o et - •
En effet, dans la première évaluaiion, nous considérons comme également probables les deux hypothèses
x0 < x <c x0 -+- s et Xi < x < xy + £,
l'intervalle e étant le même; tandis que, dans la seconde évaluaiion, nous considérons comme également probables les deux hypothèses
x\ < x* <C x\ -+- e et a?* < .rs< a?* h- e;
ces deux conventions sont contradictoires.
Ici, x est une constante arbitraire; plus haut, dans le problème de l'aiguille, il y avait trois constantes arbitraires, les coordonnées du milieu de l'aiguille et sa direction. Dans d'autres problèmes de probabilités, il y a encore plus de constantes arbitraires, il y a même des lois arbitraires. Ainsi y — /(#) est une fonction qui peut paraître plus probable que telle autre, ce qui arrive entre autres quand on interpole. C'est là une quatrième catégorie de problèmes.
