Nous avons cherché à rendre minimum
lhi{Zi-X)\
où ht est le poids de l'observation i.
On peut ramener le roblème au cas où tous les poids sont égaux. Posons
A = Zisfhi— \fht¥i ■( u\, ut, . . . , Up)
et
alors
h^- Xi)'- = (tfhiZt- y/hixif =(£--xri)*i
et l'on a à rendre minimum une expression telle que
Itzt-xtf.
17^. Nous avons! vu qu'on pouvait diriger les calculs de deux manières. Voici un exemple de chacune.
Premier exemple. — On observe un point M d'un certain
Fig. 18.
nombre de stations S„ S2, S3, dont la position est parfaitement connue; on mesuré l'angle de MS^par exemple,
avec une direction fixe MS0, en d'autres ternies l'azimut
Quelle est la position la plus probable du point M d'après
ces visées ?
Soient x, y les coordonnées de M; ah bt celles de S,; 9/ l'angle de M S, avec MS„ pris comme axe des abscisses :
Les équations en q>, sont, en général, incompatibles, les lignes de visées ne passant pas exactement par M et formant autour de ce point un petit polygone.
Un point quelconque pris à l'intérieur de ce polygone
sera une première approxima-
de M, soit 9, ; et ainsi de suite.
9,- — arc lang^-
\ et v] seront de très petites quantités.
Fig. 19.
Posons
(Dans le cas de la figare 19, wt serait négatif.) D'ailleurs
9? = arc tang — —
Développons 9, suivant les puissances croissantes de et Y}, en nous arrêtant aux termes du premier degré :
MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. l'tf
* 7q- bi
(â?0— aiy+tyQ— bt)%'
Alors
&>/— 9/— ®°( = Ail -+- B <■■/].
La valeur observée de <p, est tyit
tyi— ?? + £/-
Si sera la valeur observée de &>/. Les équations que donnent les observations seraient les suivantes :
s/= A*£.H- B,-yî.
Ces équations sont, en général, incompatibles, parce. que les observations ne sont pas exactes; il faut choisir £ etri de façon que
2(A;4 + Bt-Y]-£;)2
soit minimum.
Je différentie par rapport à £ et à n :
SAKA/S + B/n — s/) = o, 2Bf ( A,f 4- Bf^ .-- */) = o;
d'où deux équations linéaires pour déterminer £ et o,
£2A* 4-y]2AB = 2As; gZÀB-t-tiZB1 = 2Be*
175. Deuxième exemple. — Supposons qu'on ait mesuré neuf angles : soient zt les valeurs de ces angles, xt les valeurs observées, les erreurs. Imaginions qu'on ait entre
ces neuf angles les quatre relations de condition
S, -h -Zg -+- z3 — 7T, 2S-+- Zt~ 1Ç, -27 "+■ *8 "+" 29 — ^»
/t, étant une quantité très petite donnée par l'observation l'excès sur deux droits de la somme des angles observés,
xx + xt -+- x3 == 7T -h A|,
d'où De même
yi + y.i+yt= h- La quatrième -équation de condition exprime que
Il s'agit de déterminer tes y de façon que la somme
soit minimum.
Je vais introduire quatre quantités auxiliaires, e„ e„ e3, e4, correspondant aux quatre quantités hu ht, h3, hK. Ainsi, pour r„ je me servirai du coefficient de y3 dans la première équation, où H est i, puis dans la deuxième, puis dans la troisième, où il est o, puis dans la quatrième, où il est i :
On trouve de môme
yi=y*=e»
y,=ts 4-e»,
Pour déterminer les s, je remplace les y par leur valeur
3e, + e4— à„ 3et-î-E*=A2, 3^3 -4-^4=^3, et + gj-hej-hSe^ -A»;
■+■ êsH- es) + 3e4= à, -t- A,.-h À3
et
6£t= 3/i4~ ht—ht— h3,
et ainsi de suite.
Ce procédé est ici plus commode que l'autre. ïl y a neuf angles et quatre équations de condition, d'où cinq arbitraires; nous avons eu à résoudre quatre équations à quatre inconnues, et par l'autre méthode nous aurions eu cinq équations à cinq inconnues.
176. Autre exemple. — On a visé un certain nombre de points M„ M2, M„ qui ne sont pas en ligne droite et qui devraient l'être : quelle est la droite la plus probable?
Il s'agit de déterminer n nouveaux points en ligne droite, de telle façon que la somme des carrés des erreurs soit minimum.
L'erreur est double : elle porte sûr l'abscisse et elle porte sur l'ordonnée. Si je suppose que la probabilité d'une erreur sur l'abscisse soit la même que la probabilité d'une erreur sur l'ordonnée, la somme des carrésdes erreurs sur l'abscisse et sur l'ordonnée sera la somme de quantités telles , que
Nous avons besoin, en réalité, non des points P,, mais de
la droite D qui passe par les points P, : je dis que M/P, doit être perpendiculaire à D.
Si elle ne l'était pas, soit M/P/ cette perpendiculaire; en remplaçant M/P/ par 11/ PJ, je diminuerai la somme qu'il s'agit de rendre minimum, et par conséquent elle n'était pas minimum.
Je ne m'occupe plus des P : je vais chercher une droite telle que la somme des carrés des distances des points M, à cette droite soit minimum.
C'est le. moment d'inertie des points par rapport à cette droite qu'il faut rendre minimum, en supposant que chacun des points ait été affecté d'une masse égale à i.
Comme première propriété, la droite passe par le centre de gravité. Si l'on fait tourner la droite, on sait que le moment d'inértie varie suivant une loi très simple, qui amène à la définition de l'ellipsoïde d'inertie. Ici, cet ellipsoïde serait infiniment aplati, puisque les pointssont dans un plan; la droite est donc le grand axe de l'ellipse à laquelle il se réduit. Celte ellipse d'inertie serait d'ailleurs une ellipse très allongée, puisque les points sont sensiblement en ligne droite.
177. Dans le cas où l'on vise un point dans un plan, la probabilité d'une erreur en abscisse peut n'être pas la même que celle d'une erreur en ordonnée. Les deux erreurs peuvent aussi ne pas être indépendantes. Nous avons étudié ce point en détail dans le Chapitre précédent.
Nous avons été conduits à considérer, dans le cas du point visé, une série de petites ellipses; la probabilité que les coordonnées du point soient comprises entre x et x-t-dx, y et y -h dy, s'est exprimée pat une fonction
ev dx dy,
et le polynôme du second degré P, égalé à une constante, nous a donné l'équation d'une de ces ellipses.
Revenons aux points en ligne droite.
Du point Mj comme centre je décris une ellipse homothétique à l'ellipse normale, et tangente à D. Je fais la somme des carrés des grands axes des ellipses ainsi décrites autour des divers points M, et j'écris qu'elle est minimum.
Ce cas se ramène aisément au précédent. Par une transformation homographique, ces ellipses peuvent devenir des cercles. Si, par exemple, le petit axe est la moitié du grand axe, on multiplie toutes les abscisses par 2, et l'on n'a plus qu'à chercher le moment d'inertie comme tout à l'heure.
