Admettons la loi de Gauss

Un certain nombre d'observations nous ont donné comme résultats de mesure xt, x%> xn. II s'agit de savoir la vaîeur de h et celle de s : tout ce que nous connaissons, c'est xif xt, xn> et de plus nous admettons que la loi des erreurs est celle de Gauss.

Posons

Xi — z == yi;

Demandons-nous la probabilité' pour que z soit compris entre z et z + dz, et pour que h soit en même temps compris entre h et h-+- dh.

C'est un problème de probabilité de' cause : la cause inconnue, c'est le double fait ci-dessus; l'effet connu, c est que n observations ont donné xu x^ xtt.

En représentant, comme précédemment, par te/ la probabilité a priori de la cause enviscgée, et par la probabilité d'un événement qui s'est produit si l'on admet que la cause a été mise en jeu, la probabilité a posteriori de la cause sera

m— ( z, h ) dz dh,

sous la forme la plus générale et sans faire ty.= i : l'idée que nous nous faisons a priori de l'habileté de l'observateur doit influer sur la probabilité que nous attribuons à h.

Pi est la probabilité que les observations ont donné des résultats compris entre

xt et xt-+-dxu x2 et xt-\- dxit xn et xn-\-dxn.

Posons

R = y{xï — z)y(xs — z). e.ç(^w— z), <?(xi-z)=y/^e->^i-»>;

Pi — H dxx dxt. . ,dxn,

UfiPi TLty dz dh dxx dx» . . ,dxn

2&iPi dz dh dx1dx2. . .dxn

On n'intègre pas par rapport aux x, dont les différentielles disparaissent haut et bas. Par rapport à z, on intégrera de — 00 à -f- », et par rapport à h de o à -+-«>.