On peut écrire
si
p = (a;l-zy + (xi-zy + ...+ (xn-z)i.
P est un polynôme du second degré en s qui atteint son minimum quand z est là moyenne arithmétique des quantités x\ représentons ce minimum, qui est positif, par not*.
où
alors et
a54 CHAPITRE XIV.
Je pose
et
Alors devient
dz = dy V — n + a1).
1rs t pi
J hîe-'^y'+^tydydh Pour/, comme pour z, on intégrera de — *> à ■+- ».
180. Cherchons la probabilité, pour h seulement, d'être compris entre h et h-+-dh, y ayant toutes les valeurs possibles,
dh \ h*e-nhiy*+**>tydy
tj> dépendait de z et h; il dépend maintenant de y el A. Restreignons d'abord le problème en supposant toutes les valeurs dey également probables, c'est-à-dire indépendant de 7.
On a
CALCUL DE L'ERREUR A CRALMjkk.
La probabilité relative à A seul devient alors
dh.h 8 g-"*»'^
181. Quelle est d'abord la valeur la plus probable de A? Cherchons le maximum du numérateur, puisque la probabilité lui est proportionnelle.
Ce numérateur peut s'écrire
rfftA(v/ÂV-M,)n.
sjh
Or le maximum de dh<t>nx /a lieu en général quand /' n&
et, si n est très grand, on peut négliger y; le maximum est
donc atteint en même temps que celui de 4>.
Ici 4> est \fhe-hx%; écrivons que la dérivée logarithmique est-nulle :
in
On a ainsi la vàleur la plus probable de h.
On remarquera que, en supposant un nombre très grand d'observations, la fonction arbitraire ^ n'intervient pas. Ce n'est pas étonnant : l'hypothèse que nous avions fondée a priori sur le plus ou moins d'habileté de l'observateur disparaît devant le grand nombre de résultats que nous contrôlons.
182. Quelle esl la valeur probable de hPt Cette valeur probable est
Si n est très grand, nous savons vers quelle limite tend le rapport de ces deux- intégrales; c'est
h0 étant la valeur la plus probable. Ainsi la valeur probable de hp est hp.
Cette conclusion n'est vraie qu'à la condition que n Soit très grand et que p soit fini.
Faisons — i : nous arrivons à des intégrales eulériennes
OU
hP =
1 tr***dh
2 e~*b**dh
Le rapport des valeurs asymptotiques donne
ce qui est bien notre conclusion.
Mais, si l'on ne suppose pas p fini, elle ne serait pas applicable. Supposons p très grand, égal à ^ par exemple :
1(2/» , „9X„__ (2PY-Pe-^V^ fnn
T{p) pPe-P\Jinp
Le second membre se réduit à i^e-» \f% (a2)-p. On trouve donc pour la valeur moyenne de 1\p une expression très différente :
iPe-P\pi ( 2 \p
fi.
183, Probabilité de l'erreur commise. — Le problème se divise en trois :
i° On peut se proposer de calculer la probabilité a priori.
On n'a pas encore fait les observations ; on sait seulement qu'on va en faire n et qu'on appliquera la méthode des moindres carrés. Nous connaissons aussi l'habileté de l'observateur.
2° Le problème est entièrement différent, si nous nesavons pas à l'avance la valeur à attribuer à la constante qui entre dans la formule de Gauss- Nous ne connaissons pas l'habileté de l'observateur, mais nous, connaissons les résultats des observations.
3Q Nous connaissons l'habileté de l'observateur et les résultats des observations.
184. Premier problème. — On ne connaît pas les résultats, mais on connaît l'habileté de l'observateur. On suppose alors que le poids est le même.
Soient yu y2, yn les erreurs qu'on va commettre; P.
xu r,, x„ seront les valeurs approchées des quantités vraies s,, si? ....
Celles-ci seront liées par q = u—p équations de condition :
Si l'on substitue a z„ z,, ...,zn les quantités xu x2, ,. , xn, ces équations ne seront pas satisfaites, et l'on aura
<bj(xlt X,, . . ., Xn) — fJL/,
où est très petit.
Je remplace xk par /*4-sa-, et je développe suivant les puissances croissantes de ykt en m'arrèlant aux termes du premier degré :
AI^1-t-...H-A„.y« = fxl-.
Pour fixer les idées, faisons n — 3, et supposons qu'il y ait deux équations de condition
Aij,-!- As>j-t- A3^3 = jx, Bi/, -4- B,vi-+ B3>v3= f*'-
ju., [}.' sont très petits, mais je ne connais pas leur valeur, puisque les observations ne sont pas faites.
Il s'agit de calculer les corrections yt à effectuer sur les valeurs observées.^,; les corrections dépendent évidemment de fx et de et nous aurons, par exemple,
Je ne connais pas la forme de 9, mais je puis développer suivant les puissances croissantes de fi. et de p.', et, comme les \j. sont très petits, négliger les carrés des p; je serai con-
duit à poser en général
les X étant des constantes à déterminer. Gauss les détermine de façon que la valeur probable de (y4- — yî)*, c'està-dire de
(7<— hp — */'[*')*>
soit minimum.
/Z s'agit de la valeur probable en supposant que l'on connaisse d'avance l'habileté de l'observateur, mais non les résultats. Si on connaissait les deux, la solution serait en général différente.
185. Pour bien faire comprendre cette différence, je vais examiner le cas le plus simple : on a observé plusieurs fois la même quantité z.
On prend la moyenne des observations, ce qui est conforme à la méthode des moindres carrés.
L'erreur commise sur la moyenne sera
ri -+- ys +/..-+- yn
La probabilité a priori de l'erreur commise, pour la première observation, par exemple, sera <p (yt) dyx.
La probabilité a priori pour que z soit compris entre z et z -+- dz sera (z) dz.
Cherchons la valeur probable de quand on ne connaît pas les résultats des observations, et.
qu'on connaît <\>,
X cp (/, ) 9 (y2 ) . . . <p ( yn ) dyr dy^ . . . dy„. C'est la première valeur probable.
Si l'on connaît à la fois l'habileté de l'observateur et les résultats, on a une deuxième valeur probable très différente
Dans le premier cas, on avait affaire à n variables indépendant es yt,yt, d'où une intégrale multiple d'ordre n; dans le second, on n'a plus qu'une seule variable z.
Supposons qu'au lieu d'appliquer la règle de la moyenne et d'adopter, par conséquent, pour z la valeur
on ait adopté une autre valeur
l'erreur commise eût été égaTe à n
Nous aurions trouvé alors pour la valeur probable du
carré de celte erreur sans connaître les résultats
>< ? ( /i ) <P ( X* )•••?(/«) dyx dy2 ... dyH,
et'pour la valeur probable de ce même carré connaissant les résultats
fi***
s) Q(yl)(?(xi)...f(yn)ty(3)d?
Alors A atteint son minimum pour s = o, pourvu que la fonction 9 soi£ paire.
Au contraire, pour que B atteigne son minimum pour e =0, il faut que la loi de Gauss soit vraie.
Gauss s'était placé au premier point de vue dans l'analyse •que nous avons reproduite au Chapitre XI, paragraphes 129 et suivants, et il avait ainsi démontré que la règle de la moyenne est toujours légitime.
Il s'était placé au second point de vue dans l'analyse que nous avons reproduite au Chapitre X, paragraphes 108 et suivants, et il avait démontré que cette règle n'est légitime que si la loi de Gauss est vraie.
186. Revenons au problème qui nous occupe .cherchons à déterminer les 1. 11 s'agit de rendre minimum
ff et jx' sont des^fonctions linéaires des y; donc c'est un polynôme homogène et du deuxième degré, par rapport à/i, y2, • • • > Jn, qu'il faut rendre minimum.
Par hypothèse, les poids sont les mêmes.
Soit m? la valeur probable de y\; m9 sera aussi la valeur probable de j2, et celle dey2.
Si nous avions à faire trois observations, nous n'aurions pas le droit de supposer à l'avance y \ plus grand que y2 ou que y,.
La valeur probable du produit /,j2 sera nulle : eile sera le produit de la valeur probable de yt par la valeur probable de y2, et la valeur probable de y, est nulle puisqu'il n'y a pas d'erreurs systématiques. Cela est vrai, parce qu'on ne connaît pas les résultats observés, et ne le serait plus si on les connaissait.
Comment trouver la valeur probable du polynôme? On remplace tous les termes carrés par m2, tous les doubles produits par o.
Ce polynôme, si l'on substitue à et [i! leur expression en fonction des/, devient
(y1-^Al/,-A'1B1j,), + ...i
le coefficient de y] est (X, A, -+- B, — i)-; celui de y\ est (*iA2 + à',B2)2; celui de y\ est (X, A3 + l\ B3)2. Donc (/, — X, fx — 1\ fx' )2 est égal à
/n2[(A1X1-hB1V1 — j)s + (A2X1+B2X,1)2 + (A3X1 + B3X'1)î]. Voilà ce qu'il faut rendre minimum.
187. Appelons m2P le second membre : il représente la valeur probable du carré de l'erreur, (yx — y\f, qui subsiste après la correction.
Égalons à zéro les deux dérivées
dP dp
c'est-à-dire
A , (A , A, + B , l\ — i ) 4- A, ( A , A, 4- B, l\ ) 4- A, (A, À , 4- B3 V, ) — o, et, par symétrie,
B , ( A, X, 4- B , A; - 1 ) 4- B2 ( A s À, 4- B, l\ ) 4- B3 (A3 \ -+- B:J À', ) — o. Ce système peul s'écrire
À,iA- +?/,2AB = A,, Â.lAB-i-^IB2 = B,.
Il est linéaire par rapporta X, et a[. J'y ajoute l'équation qui donne y\
En éliminant ^ et A.(
