Je dis qu'on a identiquement
En effet
/'t=eA, -+- e'B,.
elAiYi-hs'lBiri s 2 A,/',- -h e'2B,/'(-
Autre identité
En effet, en développant D( y —y')*,
ce qui est bien une identité, puisque en vertu de la précédente identité
— y'9 — '2% yy' 2)/'2= o.
194. Cherchons la valeur probable ly'~. C'êst une forme quadratique par rapport aux y.
On multiplie m2 par la somme des coefficients des termes carrés, ou, autrement, on considère l'équation en S.
Soient F et F' deux formes quadratiques par rapport à n variables; si S est une constante,
F-SF'
sera encore une forme quadratique par rapport aux n variables.
En écrivant que le discriminant est nul, on obtient une équation d'ordre n en S, dite équation en S.
La propriété de celte équation est de ne pas changer quand on fait un changement linéaire de Variables : c'est une équation invariante.
Supposons maintenant que nous nous proposions de calculer la valeur probable d'une forme quadratique ; je prends F'=ly2. Écrivons que le discriminant de
est nul.
La somme des racines de cette équation est la somme des coefficients des carrés.
.F = Ay] + My\ -+- k"y\ ± i By,y3 4- 2 B' v3ty , -h sB"/. j2. Le discriminant donne
La somme des racines est bien A + A' + A'; d'autre part, la valeur probable de y\ étant m2 et celle de ri/2 étant o, celle de F sera
Comme règle, on forme donc F — SU/*, on prend la somme des racines de l'équation en S et on multiplie par ni1.
195. Appliquons ceci à la forme quadratique 2y2. Soit îa forme
ou< d'après le paragraphe 193,
Formions l'équation en S et cherchons la somme des racines.
Les quantités y' s^xpriment linéairement en fonction de n - p d'entre elles; 2v'2 se décompose donc en une somme de n — p carrés, et l'on a, les £ étant des fonctions linéaires des y,
Les 7— y' s'expriment eu fonction de p d'entre elies, et
CALCUL DE L'ERREUR A CRAINDRE. a.69
l'on a, les rj étant des fonctions linéaires des/, 2 ( j - / )2 = Y) ? + r, * + . . . H- ï] * .
Les n fonctions linéaires ainsi obtenues sont linéairement indépendantes. Remarquons en effet qu'on a
Le premier membre est une somme de n carrés
le discriminant de la forme du premier membre est i. Le second membre ne peut avoir pour discriminant o. On a ainsi
fc = (i - - SIyi2.
Le discriminant est
(S — i)»-pSp—o;
n — p racines sont égales à i , et p égales à o, la somme des racines est n — p.
La valeur probable de 2/2 est nm*-; d'après la règle exposée plus haut, la valeur probable de H/2 sera
ty1— (n—p) m2.
Donc par différence.
Ainsi : i° la valeur probable de la somme des carrés des erreurs commises est nm-; 20 la valeur probable de la somme des carrés des corrections faites est ( n — p ) ni1 ; 3° la valeur probable de la somme des carrés des erreurs après corrections est pm*.
196. La valeur probable de zy' est plus petite que la valeur probable de 2y2.
C'était aisé à prévoir.
Nous. cherchons à déterminer les corrections de façon que la somme des carrés des corrections soit minimum : c'est le principe même de la méthode des moindres carrés.
A mesure que les observations augmentent, si nous considérons l'erreur commise sur une observation, nous allons démontrer qu'elle tend vers zéro.
Supposonsque les observalions augmententconstamment; le. nombre p demeure constant, ainsi que pm*--, le nombre des termes va en augmentant : il y a des chances pour que chaque terme diminue constamment.
Si nous considérons la plus petite des quantités
•î . . . , pin*
elle sera certainement intérieure a - —
Observons une même quantité n fois; une seule variable indépendante : p — i .
Nous avons n termes; n observations faites dans les mêmes conditions; donc
197. Jusqu'à présent, nous avons supposé que la précision était connue, mais que les observations n'étaient pas faites.
Le problème se pose autrement; on ne sait rien sur la précision, mais les observations sont faites. Nous voulons en conclure la valeur de h ou celle de ms. Voici la solution.
Les 7 ne sont pas connues; les y' le sont par la méthode des moindres carrés. 2/'2est connu.
J'égale sa valeur à la valeur probable calculée a priori Zf-=(n — p)m\
d'où m-,
