Cette méthode a été critiquée par J. Bertrand
En effet, si on l'avait appliquée à une autre combinaison, par exemple Zyn, on en aurait déduit une valeur de m qui n'eût pas été la même. La méthode peut devenir suspecte.
C'est un problème de probabilité des causes, et nous appliquerons les règles de ce calcul.
On demande la probabilité a posteriori pour que h soit compris entre certaines limites.
Cette probabilité est
Pi «r<
TZi est la probabilité a priori delà cause, c'est-à-dire pour que h soit compris entre h et h -h dh \ pt est la probabilité pour que, si la cause a agi, les observations aient donné des résultats respectivement compris entre xt eta?,H- dxu x2 et #2 + dx%i . . ., x„ et xn dxn .
Cherchons la valeur probable d'une fonction de A, f(h); cette valeur probable est
Z piVSi
Faisons de suite la remarque que le résultat va dépendre de la probabilité a priori; le résultat de Gauss ne peut donc déjà être tout à fait exact.
Si je détermine h par
/{/*) ^Jyï);
cette valeur probable de h dépendra de la fonction /.
Si je cherche la valeur la plus probable, ce sera la même chose.
On peut se tirer d'affaire à une condition : c'est que le nombre n soit très grand. Le facteur gj, n'a plus grande influence; ainsi, pour
toutes les méthodes conduisent au même résultat, si toutefois le nombre des observations est très grand.
199. Lorsqu'on observe une quantité z, et que les observations ont donné xiy x2, xn, on peut représenter gt, et Pi par
La probabilité a posteriori pour que h soit compris entre h et h -+- dh, et z entre z et z -+- dz, est
n^(A, z) dh dz dxx dx2 . . . dxn
Les différentielles dxu dx2, dxn disparaissent dans ce rapport, et il faut intégrer par rapport à h de o à -+- oo et par rapport à z de — oo à -f- co.
Imaginons que, au lieu d'une quantité z, il y en ait /i, zu Zi, zn, qui dépendent de p variables ult w,, upf et que les valeurs observées des z soient xif xt, . . ., x„ ; les erreurs commises sont/,, y2, yn.
mi sera la probabilité a priori de la. cause : ici, pour que h soit compris entre h et h -h dh, et pour que u{ soit com-
Pi
m,— ty(h, z) dh dz, i= II dxx dxt . . . dxn.
pris entre m, et ut -+• dul> u2 entre u2 et u, h- du2,
7Si= ty(h, ut, uif . . ., up) dh diii du2 . . . dup.
La probabilité a posteriori sera
II ty(h, ut, us, . . .y up) dh dux du2 . . . dg.p dxj dx2 . . . dxn J H ty(ti, utf uif . . . , up) dh diix du2 .", . dupdxx dx2 . . . dxn
Il faut intégrer par rapport à h de a à -h oc, et par rapport aux a de — 00 à -h 00 ; quant aux différentielles des xy elles disparaissent comme précédemment.
La probabilité cherchée s'écrit donc
200. Elle dépend de la fonction <j> qui est entièrement arbitraire, et qui est soumise à l'idée que nous nous faisons a priori de la valeur des u et de l'exactitude que nous attribuons a priori aux observations; mais ^ ne joue pas le plus grand rôle si les observations sont nombreuses.
Je vais appliquer à cette fonction ^ une forme particulière, en supposant qu'elle ne dépend pas de h.
On justifie celte manière de voir en disant que les mesures donneront en général aux u des valeurs très voisines les unes des autres ; qu'elles sont comprises dans un petit iriter- P. 18
Pi sera la probabilité de l'effet en supposant que la cause ait agi
Pi=ïldxl dx2 . . . dxn,
où
11^ dh dux du2 . . . dup
valle où la valeur de s variera peu si les observations sont concordantes.
La valeur probable de H* sera
Ces deux intégrales doivent être calculées de la même manière : h y varie de o à + » et les m de — <x> à h- oo .
201. Qu'est-ce que 2 y2? C'est une fonction de #,.qui est connu, et de zt qui est une fonction des u.
Par la méthode des moindres carrés, on obtient comme valeur à adopter pour </, la vaieur m° : les valeurs des u ainsi définies ne sont pas exactes, mais elles sont les plus convenables à adopter,
c, étant très petit.
Les sonrdes fonctions des V,, et on peut les considérer comme des fonctions linéaires des vit en négligeant les carrés.
Le polynôme
sera du second degré par rapport aux r,, mais non homogène; il atteint son minimum quand les t'i sont nuls. Les équations
«/== uf -+- Vi,
doivent être satisfaites quand les r, sont nuls
Donc P ne renferme que des termes du second degré et du degré zéro ; ii n'y a pas de termes du premier degré.
P0 est le minimum de 2/2, ce qu'on a appelé 2/'2, dont la valeur probable estera — p)m*. Donc P0 est très grand en général, et il y a d'autant plus de chances qu'il soit grand, qu'il y a plus d'observations.
À étant une constante.
Le polynôme P2 est obtenu en additionnant entre eux les termes, du second degré; il y a un très grand nombre de carrés, il y en a n, et les coefficients du polynôme P2 sont du même ordre de grandeur que n.
Q élant de l'ordre de grandeur de A.
La valeur probable de /<v sera
Ç <t, /tv e-/«n-p)(A+Qi dh 4VX dVi/.. dVp
2 g— /( (n—p) (A+Q) dh dv} dv%... dvp
on intègre par rapport à h de o à -h x> , et par rapport aux v de — 00 à -4- 00 .
