La première intégrale porte sur
qui dépend de h et sur
qui dépend des v.
Il faut calculer haut et bas
Q est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux v ; je pose
hQ devient un polynôme Q' homogène et du second degré par rapport aux o.
L'intégrale devient
Ér-(»-P>Q d(ùi dut... d«>p h~\
Les limites de l'intégrale restent les mêmes, et la valeur de l'intégrale est
où B ne dépend pas de h.
Alors
Je pose
f Av ®n~P dh
formule qui dépend de ty.
203. Si nous voulions pousser plus loin, il faudrait introduire une hypothèse sur d>. Cependant, quand on suppose n — p très grand, la fonction 4" n'a plus d'influence.
Lorsqu'on a
et qu'on fait croître n indéfiniment, la limite de ce rapport est
h0 étant la valeur qui rend <& maximum.
A cette condition de n très grand, la valeur probable de h? ne dépend plus de <\>; la valeur probable de h est toujours h0, quel que soit v.
où h0 est la valeur qui rend maximum.
On a donc ici
c'est-à-dire
II n'en serait pas de même si l'on ne supposait pas n très grand.
De plus, n doit être très grand, non seulement en valeur absolue, mais par rapport à p d'une part et à v d'autre part.
Ainsi, si
il faudrait rendre maximum non plus <D, mais <Ï>A2.
20k. Si n n'était pas très grand, on aurait à rendre maximum
tjj <!>»-/> ;
d'où
si n est grand, la valeur de h est à très peu près celle qui rend maximum <&(/*). 0° a
car
ce résultat est conforme à la loi de Gauss, ïy'*=(n-p)m>.
La valeur probable du carré de l'erreur est
m-— — — , 2 hQ
d'où
et par suite
c'est bien la même valeur.
Il ne faudrait pas attacher grande importance à ce qu'on a raisonné sur n — p au lieu de n, parce que n est très grand n — p
et que est. -voisin de i.
La règle est donc justifiée si le nombre des observations est très grand.
205. Je vais appliquer la méthode des moindres carrés à une question nouvelle, la recherche d'une fonction inconnue f (a?).
Nous mesurons certaines valeurs de cette fonction.
f(an)^=An.
Construisons la courbe
dont on a ainsi un certain nombre de points.
On pourrait toujours, par ces points M,, M2, M„, faire passer une courbe, mais cette solution ne serait pas la meilleure : on fait passer une conrbe près de ces points, aussi continue que possible.
Un autre procédé présente aussi un certain degré d'arbitraire comme le procédé géométrique: je veux que ma courbe soit de degré q aussi petit que possible,
/(a?) = C0-+- C,.r -+-. . .^Cqxi;
THÉORIE DE L'INTERPOLATION. a8l
q est plus petit que n — i ; car si q était égal à n — i, on aurait une fonction satisfaisant exactement aux conditions.
Quelle valeur attribuer à qï Cette valeur est arbitraire. On la choisit d'abord assez petite, puis, si elle est insuffisante, on introduit un terme de plus dans le second membre, et ainsi de suite.
206. Laissons de côté, ce mode de tâtonnements et supposons q choisi.
Nous déterminerons les coefficients du polynôme de telle façon que
soit minimum.
f(x) est linéaire parrapport aux coefficients C. Je vais poser
F (se) — (x — as',) (&—. a,). . .(x — an).
La question se rattache au développement en fraction continue du rapport
Ce développement s'opère comme si- Ton cherchait le plus grand commun diviseur de F et de F'. On aura successivement
F = Q,F -+-R„ F'^Q^+R,, Ri^Q.Rs+Rs,
Rr» -3= Qn-|R»-8-t- R/i-1?
Il n'y a pas de terme R„ dans la dernière équation, car R» = o.
En général. F est de degré n. F' de degré n — i, R, de degré n — 2, Rp de degré n — p — r, R„, de degré o et tous les Q de degré 1.
On a
Ain
SI
207. Nous avons à considérer les réduites successives de ce développement. Comme
à la place de
je puis écrire
-Q«F + F(:ih-Q,Qi)5FRï.
Si je pose
N, = i, D,= Qï,
j'aurai
Si je pose
N2 = -Q2, D2rr-(i+Q1Q2)
j'aurai
Nous exprimerons de la même manière un quelconque des restes successifs,
Comme
Ri= Q/-«-sR/-+-i h- R/+2, R,-+2=(N,:F - DtF') - (WN^F - D,+1F'),
si je pose
N/+S = N,— Q/-i.sN/+1, D^2 == Di — Q,+2Dt+1,
j'aurai encore
R,+J=N/+,F-D,+ÏF'.
Sur ces relatibns de récurrence, on constate que
RI; R2, ... et R„2
sont respectivement de degré n — i,n — 3, ... et i, et que R„! est une constante. Nt est de degré o, N2 de degré i, N{- de degré i— i. On voit aisément que, si cette proposition est vraie pourN, et N<+t, elle l'est encore pour Ni+2. Df est de degré i.
208. Je dis maintenant que N, et Dt sont le numérateur et le dénominateur de la réduite d'ordre i.
Les relations de récurrence rendent ceci évident; mais on peut le voir autrement.
J'écris la suite
d'où je déduis
Qi
Je puis encore écrire l'équation suivante
Supposons que l'on veuille calculer la réduite
ai i
Je n'ai qu'à faire R, =o dans l'égalité précédente, et faire
aussi
F = fr, F'=«f.
a/=zQsR;-hR;,
les R étant devenus des R'.
On u entre les R' également des relations de récurrence,
Rt est nul; donc, Nt- et Dt étant les mêmes que plus haut, N-
■jr- est bien la tième réduite.
Quelle relation y a-i-il entre cette réduite et le problème proposé?
