L'équation fondamentale est
Faisons attention au degré de tous ces polynômes. Rappelons que : Nt- est de degré i — i; F est de degré n; D, est de degré t; F' est de degré n — i ; Rt est de degré n — i — i.
De l'équation fondamentale je tire:
Je multiplie les deux membres parxi1,
Je m'en vais évaluer la somme des résidus dans les deux membres; notons d'abord que pour ce calcul nous ne devons tenir compte que des deux fractions où F entre au dénominateur.
286 CHAl'ITRK XV.
Supposons ensuite que, dans une fraction rationnelle, le degré du numérateur soit d'une unité inférieur à celui du dénominateur, par exemple
Afar»-1+Bf . .
A'i'"+B'^-' + ... 5 cette fraction se décomposera en
Si je multiplie par x,
A x Zu x — a
tendra vers IX, ou la somme des résidus, quand x croîtra indéfiniment, les autres 2 (c'est-à-dire celles où x — a entre au dénominateur à une puissance plus grande que i) s'annuleront.
Mais
xP
lim-Q- - Q, pour x = oo,
si le dêgré de o.P est plus petit que celui de 0- Donc: la somme des résidus sera nulle si le degré du numérateur est inférieur de plus d'une unité à celui du dénominateur. Considérons
le dénominateur est de degré n, le numérateur de degré n — i — i -+- ix. Si
c'est-à-dire
la somme des résidus sera nulle.
Ainsi, quand //. est égal à 0,1, i — i, la somme des résidus est nulle.
