Quanti on a affaire à la fraction rationnelle q> que

Q n'a pas de racines multiples et s'annule pour x — a, le résidu pour x — a est

Prenons pour a l'une des valeurs qui nous a servi à calculer/ (x) ; le résidu par rapport à « de

xV- D/F'

sera

aV-Df(a) F' (a)

ou

aV-Di(a).

Ainsi, pourvu que >j. soit plus petit que i,

la sommation étant étendue à toutes les valeurs de a, a,, a2, . . . , an.

Il en résulte que, si Pf ï est un polynôme quelconque d'ordre i— i,

Prenons

Phi=»^î

alors

lD,.(a)Di(a) = o.

Cette équation est vraie pourvu que/r soit plus petit que i.

Mais, comme rien ne distingue les deux indices, cette équation est encore vraie toutes les fois que k est différent de i.

Les polynomes.de Legendre ont une propriété analogue; pour deux d'entre eux

on a

y vmvndT — o;

ici, au lieu d'intégrales, on considère tles sommes finies.

211. Nous voulons obtenir un polynôme d'ordre q plus petit que n — i, dont les coefficients seront choisis de telle sorte que

soit minimum.

Si f (x) est un polynôme d'ordre- q, il peut toujours êlre mis sous la forme

/(jî) = C0-h C, D,(ar) + C, !>,(*) -h. . . -f C9V9(x.).

Il s'agit de déterminer les coefficients C de façon à rendre minimum la somme des carrés

2( A - G0— C, D, — C2 D2 — . . . — CyD„)*.