Développons ce carré

Sur une première ligne, nous mettrons les termes carrés

1 A* + n CI H- C» 2 D*-+- C| 2 D» -t- Q 2 D£.

Sur une seconde ligne, nous mettrons^ la somme des termes rectangles tels que

— aC02A — 2C.2AD,— ...-2Cnl\l)9,

OÙ

5ADf=AID7(a,)+...-hA„Dv(ff«).

Sur une troisième ligne nous mettrons une somme de termes tels que

Or

IJ)i(a) — o, = 0.

Restent la première et la deuxième lignes. Je puis d'ailleurs abréger l'écriture en posant

La somme des termes à rendre minimum se réduit à 2 A* + 1 Cfl Df — 2 1 C/S AD/.

Je dilïérentie par rapport à C/ et je divise par 2; en égalant à zéro la dérivée par rapport à C/,

C/2D? = 2ADz, d'où l'expression suivante pour C,,

> 5 AD, C - Top

c'est-à-dire

f AtD/(«i) + A2D/(«g) -4- . ■ .H- A„ 1),- ( a„ ) "'— i)/(«,)H-D|(a2)4-...+ J),?(«„)

L'analogie avec un autre problème d'analyse est évidente.

Quand on veut développer une fonction f (x) en série procédant suivant les polynômes de Legendre, on arrive à

OÙ

f(x)\idx

Ici les relations sont du même genre, sauf que, au lieu d'intégrales, figurent des sommes.

•213. Quel est l'avantage de ces polynômes D ?

Je supposé que l'on ait essayé d'abord de représenler les observations par un polynôme de degré q : on a trouvé alors C0, C,, C7. On constate ensuite que la somme des carrés des erreurs commises est inadmissible : on se résigne alors à poursuivre avec un polynôme de degré q ■+- i. Tout serait à recommencer, si l'on avait eu recours à un procédé quelconque; ici, au contraire, on n'a qu'à ajouter un terme Cq+iDq+l(cc) : les précédents coefficients C0, C,j Cq, ne changent pa3, comme on le voit sur l'expression de Ct.

214, Le problème se pose déjà quand on veutsimplement interpoler une fonction : pourquoi prend-on habituellement comme solution un polynôme d'ordre n — i ?

Voici une fonction /(.r), holomorphe à l'intérieur d'un certain contour, d'un cercle par exemple. Les valeurs que nous avons données à la variable sont petites par rapport au rayon du cercle.

• Pour les valeurs aiy a2, . . ., an de la variable, on connaît la valeur de la fonction. Il s'agit de connaître la valeur de la fonction pour une valeur x à l'intérieur du cercle. L'intégrale

théorie de r. interpolation. 291 s'annule prise le long du cercle. D'autre part,

f(z) dz

v).(z — at){z —

est la somme des résidus de la fonction /(s.) pour les pôles .r, a2, . . . , a,t, c'est-à-dire

(.r — ax) (x — a2). . . (x — an) (at — x) {ax — a2). . .(al — an)

J'appelle en général P, le polynôme qu'on obtient en supprimant dans

( z — x ) ( z — «, ) ( z — a2). . .(z — an )

le facteur z — aif et en remplaçant z par a,-. Je pose aussi

F{x) = (x — al){x — aî).. .(jc — an).

Alors d'où

215. Telle est la formule générale de l'interpolation; au second membre figurent: i° un polynôme entier: 20 l'erreur commise.

Cette erreur est

1 Çf(x)th x — «, x — a2 x — a„

' 2 iiz J z — x z — at z — a2 z — an

Si R désigne le rayon de convergence, et que x soit assez voisin de ax pour que

29'i CHAPITRE XV.

chacun des facteurs ,v ^ sera plus pelit que ^, et sous le

signe J il y a n de ces facteurs.

Donc JF sera très petit si n est très grand.

S'il était seulement probable que le rayon de convergence ait une certaine valeur, on serait en présence d'une question de probabilité.

216. Je suppose que l'on sache a priori que la fonction f'x) est développable, dans un certain domaine, suivant les puissances croissantes de x,

/(#) = Ao 4- Ai x -+-....

Nous ne savons rien sur les A, sauf que la probabilité pour que l'un d'eux, A,, soit compris entre certaines limites,

y et 7 -vdy, est

Nous connaissons par n observations

/(ii)=-B„ /(as)=Bl,

Nous cherchons la valeur probable de f(x) pour une autre valeur de x.

C'est un calcul d'interpolation, avec cette différence que nous cherchons un polynôme limite.

Je me hâte d'ajouter que je considère la question comme un simple exercice de calcul, car j'ai introduit arbitrai-

THÉORIE DE L'iNTEBPOLATIOX.

rement la loi de Gauss; autrement le problème resterait indéterminé.

217. Nous avons à déterminer les coefficients A, en nombre infini, de la fonction, à l'aide de a observations : ici, il y a plus d'inconnues que d'observations, et nous ne pouvons nous guider que par l'idée que nous nous faisons a priori de la loi de probabilité.

Nous nous élevons ainsi en généralité plus encore que nous ne l'avons jamais fait jusqu'ici, puisque nous avons à déterminer une fonction inconnue.

Je vais d'abord ne prendre qu'un nombre fini de coefficients.

218. D'une manière générale, soit un nombre fini d'inconnues,

a,, up ;

p est connu.

Je suppose que la probabilité, pour que ut soit compris entre u et u + du, est représentée par la loi de Gauss,

y/^e-/''"ï du.

La probabilité pour que l'un des u s'écarte de zéro sera d'autant plus petite que h sera plus grand.

Nous connaissons les valeurs de certaines fonctions des u,

en supposant les observations parfaitement exactes.

n est plus petit que p, il y a plus d'inconnues que d'observations.

Je suppose que les x sont fonctions linéaires des u ; c'est

294 CHAPITBE XV.

ainsi que, dans l'exemple qui précède, les B étaient fonctions linéaires des A et qu'on avait

Bk= A0-h Ai a* -h

.le pose donc

yk = C* «i C| . . H- C£

Les observations nous ont appris que j/, est compris entre xk et h- i&p/fc. Chercher les «, c'est résoudre un problème de probabilité de causes. Les causes, c'est que les u sont compris entre certaines limites ; les effets observés, c'est que les x sont compris dans certaines limites.

La formule

va se simplifier ici.

219. Si les u ont des valeurs déterminées, les fonctions linéaires xk auront également des valeurs déterminées, et la probabilité de ces valeurs sera la certitude; suivant que ces fonctions tomberont ou non entre les limites données par l'observation, la probabilité sera i ou o. Donc la formule de la probabilité a posteriori se simplifie en